[論文レビュー] The football player and the infinite series

Harold P. Boas|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 1997

Functional Equations Stability Results参考文献 17被引用数 50

ひとこと要約

この論文は、ディリクレ級数の収束特性を調査し、特に一様収束だが絶対収束でない領域としての帯域の存在と最大幅に注目している。複素解析および線積分を用いて、このような帯域の最大幅が 1/2 であることを証明し、交項ゼータ級数やリーマンゼータ関数との組み合わせといった明示的な例を構成することで、0 から 1/2 の間の任意の幅が達成可能であることを示している。

ABSTRACT

This is the text of an expository talk given at the May 1997 Detroit meeting of the American Mathematical Society. It is a tale of a famous football player and a subtle problem he posed about the uniform convergence of Dirichlet series. Hiding in the background is the theory of analytic functions of an infinite number of variables.

研究の動機と目的

• 複素平面上の垂直帯域において、ディリクレ級数が一様収束するが絶対収束でないような領域の最大幅を特定すること。
• 絶対収束領域を超えて、半平面上でのディリクレ級数の一様収束の条件を確立すること。
• 任意に指定された幅が (0, 1/2) の間であるような、一様収束だが絶対収束でない帯域を持つディリクレ級数の存在を示すこと。
• セザロ平均と線積分を用いた構成的技法を提供し、リーマンゼータ関数などの解析関数の定義域を拡張すること。
• ハラルド・ボールの基礎的業績に基づき、ディリクレ級数の一様収束帯域の極値幅に関する長年の未解決問題を解決すること。

提案手法

• 複素平面上での線積分を用いて、関数とその部分ディリクレ級数和との差を評価する。
• 頂点が s ± a − b ± iM/(a−b+ε) である長方形の線分を用い、部分和の寄与と剰余項を分離する。
• 線分の左、上、下、右の辺における積分を推定し、剰余項が O(M^{−ε} log M) で有界であることを示す。
• n ≤ M と n > M の場合に分けて、線分上での (M+1)^{z−s}/n^{z−s} の積分を評価する。
• n > M の場合、線分を無限遠まで変形し、指数的減衰を用いて積分を O(1/M) で有界化する。
• n ≤ M の場合、z = s における留数を用いて部分和を抽出し、残りの積分を幾何的減衰を用いて評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素平面上の垂直帯域において、ディリクレ級数が一様収束するが絶対収束でないような領域の最大幅は何か？
• RQ2 任意に指定された幅が (0, 1/2) の間であるような、一様収束だが絶対収束でない帯域を持つディリクレ級数を構成できるか？
• RQ3 ディリクレ級数の一様収束は、リーマンゼータ関数のような関数の解析接続とどのように関係するか？
• RQ4 セザロ平均は、発散または条件収束するディリクレ級数の収束領域を拡張するために果たす役割は何か？
• RQ5 線積分技法を用いて、収束の絶対収束の横断線の右側の半平面上で、ディリクレ級数の一様収束を証明することはどの程度可能か？

主な発見

• ディリクレ級数が一様収束するが絶対収束でないような帯域の最大幅は 1/2 である。
• 任意の実数 κ ∈ (0, 1/2) に対して、一様収束だが絶対収束でない帯域の幅が正確に κ であるようなディリクレ級数が存在する。
• 交項ディリクレ級数 ∑(−1)^{n+1}/n^s は Re(s) > 0 で条件収束し、任意の半平面 Re(s) ≥ ε > 0 で一様収束する。
• 関数 (1 − 2^{1−s})^{-1} ∑(−1)^{n+1}/n^s は、リーマンゼータ関数を Re(s) > 0 にまでメルモーフィックに拡張する。
• 関数 f(s) とその部分ディリクレ級数 ∑_{n=1}^M b_n / n^s の差は、Re(s) ≥ b + ε に対して一様に O(M^{−ε} log M) で有界である。
• 構成 f(s) + ζ(s + κ) により、一様収束だが絶対収束でない帯域の幅が正確に κ であるような級数が得られ、1/2 の境界が鋭いことが示された。