[論文レビュー] The Forgotten Quantum Number: A short note on the radial modes of Laguerre-Gauss beams

William N. Plick, Radek Łapkiewicz+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2013

Orbital Angular Momentum in Optics参考文献 1被引用数 26

ひとこと要約

本稿は、ラゲル・ガウス（LG）ビームにおける径方向量子数 $n$ の微分作用素形式を構築する。$n$ はビーム構造と安定性において重要な役割を果たすが、長年にわたり軽視されがちである。本稿では、$n$ が径方向分散と位相速度を量子化することを示し、勾配屈折率（GRIN）ファイバが $n$-モードを保存する可能性を提唱する。これにより、$n$ を安定な自由度として用いることで、高次元量子通信が堅牢に実現可能となる。

ABSTRACT

The orbital angular momentum quantum number of Laguerre-Gauss beams has received an explosively increasing amount of attention over the past twenty years. However, often overlooked is the so-called radial number of these beams. We present a derivation of the differential operator formalism of this "forgotten" quantum number. We then draw some connections between this new formalism and the effect the radial number has on beam stability with possible application to quantum communication. We also briefly outline how the radial number is tied to other physical aspects of the beam (such as the Gouy phase, and radial confinement). These do not necessarily constitute finished results, but are instead meant to stimulate discussion of this interesting and often overlooked physical parameter.

研究の動機と目的

• ラゲル・ガウス（LG）ビームにおける径方向量子数 $n$ の長年にわたり軽視されがちな物理的意味を解明すること。
• $n$ を生成する作用素として機能する径方向モードの形式的微分作用素を導出すること。
• 径方向分散、ガウイ相補位相、位相速度といった物理的ビーム特性と $n$ の関係を調査すること。
• GRINファイバのような光学系において $n$-モードが保存可能かどうかを検討すること。
• $n$ が高次元量子通信における潜在的自由度としての役割を刺激すること。

提案手法

• 横方向座標（$r$, $\phi$）における2階微分作用素を導出し、LGビーム振幅に作用させると $n$ が固有値として得られるように構築する。
• 一般化ラゲル多項式の微分的恒等式を用い、$\partial/\partial x$、$\partial^2/\partial x^2$、$\partial/\partial \phi$ に関する既知の関係から作用素 $\hat{N}_o$ を構成する。
• 座標変換 $x = 2r^2/w_o$ を用いて、作用素を物理的円柱座標系に表現する。
• 作用素の構造を解析し、調和振動子ハミルトニアンに強く類似していることが判明し、類似した力学的性質を示す系において $n$-モードの保存が期待される。
• ラゲル多項式の直交性を用いて径方向分散 $\triangle^2 r$ を分析し、$n$ と $l$ に明示的な依存関係があることを示す。
• 横方向ラプラシアンを用いてLGビームの位相速度を調査し、式（19）を通じて $n$ と $l$ とを関連付け、$z=0$ における量子化された依存関係を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ラゲル・ガウスビームにおける径方向量子数 $n$ の物理的意味は何か？
• RQ2 その固有値が径方向モード番号 $n$ に対応する微分作用素を構築できるか？
• RQ3 径方向番号 $n$ はガウイ相補位相シフトおよび横方向空間的閉じ込めとどのように関係するか？
• RQ4 GRINファイバのような光学系において $n$-モードが伝搬中に保存可能か？
• RQ5 $n$ はビーム安定性および量子通信の耐障害性においてどのような役割を果たすか？

主な発見

• 径方向量子数 $n$ は、円柱座標系における2階微分作用素 $\hat{N}_o$ によって量子化され、LGモードが固有状態、$n$ が固有値として得られる。
• ビームの径方向分散は $\triangle^2 r = \frac{2n + l + 1}{2} w_z^2$ として量子化され、$n$ が横方向拡散と明示的に関連していることが示された。
• $z=0$ および $r = w_o$ におけるLGビームの位相速度は $c^2 - v_p^2 = -\frac{4v_p^2}{k_o^2 w_o^2}(2n + l)$ を満たし、$n$ と $l$ に依存する量子化された位相速度を示している。
• $n$-モード作用素 $\hat{N}_o$ は調和振動子ハミルトニアンに強く類似しており、類似した力学的性質を示す系において $n$-モードの保存が期待される。
• 勾配屈折率（GRIN）ファイバは、そのハミルトニアンが $\hat{N}_o$ と類似しているため、$n$-モードを伝搬中に内在的に保存する可能性があり、安定な高次元量子多重化が可能となる。
• $n$ の共役変数としてのGouy相補位相シフトが関係する可能性があり、$n$ と空間的閉じ込めとの間で新しい不確定性関係に類似した関係が存在する可能性が示唆された。