[論文レビュー] The Formation of Black Holes in General Relativity

Demetrios Christodoulou|ArXiv.org|May 26, 2008

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 5被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、一般相対性理論における球対称な重力崩壊において、特徴的初期値問題の手法を用いて、閉じ込められた表面およびブラックホールの厳密な形成を確立する。過去の光円錐無限遠における光のデータの漸近的挙動を分析し、接続係数およびウェイル曲率に対する鋭い $ L^\infty $、$ L^4 $、$ L^2 $ 評価を導出することで、各方向における単位立体角当たりの入射放射エネルギーが臨界閾値を超える場合、動的に閉じ込められた表面が形成され、それによってイベントホライズンを有するブラックホールが出現することを証明する。

ABSTRACT

The subject of this work is the formation of black holes in pure general relativity, by the focusing of incoming gravitational waves. The theorems established in this monograph constitute the first foray into the long time dynamics of general relativity in the large, that is, when the initial data are no longer confined to a suitably small neighborhood of Minkowskian data. The theorems are general, no symmetry conditions on the initial data being imposed.

研究の動機と目的

• 一般相対性理論における球対称な重力崩壊において、閉じ込められた表面の形成に必要な十分な条件を確立すること。
• 特徴的初期値問題の定式化を用いて、アインシュタイン真空方程式の力学を厳密に分析すること。
• 接続係数および曲率成分の点ごとの評価と $ L^p $ 評価を導出し、時空幾何の進化を制御すること。
• 単位立体角当たりの入射放射エネルギーの閾値が、閉じ込められた表面の形成および最終的にはブラックホールの形成を引き起こすことを示すこと。
• エネルギーfluxおよび乗数推定を用いた連続的議論を完成させ、完全な未来のイベントホライズンを含む最大発展を構成すること。

提案手法

• 過去の光円錐無限遠からの初期データを用いて、特徴的初期値問題として問題を定式化し、null超曲面 $ \mathcal{C}_u $ および $ \mathcal{C}'_u $ 上で進化させる。
• 光学的構造方程式およびビアンチ恒等式を適用し、接続係数（$ \chi, \eta, \omega $）を曲率成分に関連付ける。
• 初期データおよびパラメータ $ \delta $ の小さな仮定に基づき、接続係数およびその微分の $ L^\infty $ 評価を導出する。
• 2次元球面上のソボレフ不等式および楕円的理論を用いて、接続係数の1階、2階、3階微分の $ L^4(S) $ および $ L^2 $ 評価を導出する。
• エネルギーflux推定における誤差項を制御するため、乗数および交換ベクトル場（回転場 $ O_i $ を含む）を導入する。
• ベル＝ロビンソンテンソルおよび発散定理を用いて時空エネルギーおよびfluxを定義し、連続的議論を閉じるためのブートストラップ法を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 過去の光円錐無限遠における初期データがどのような条件下で、球対称時空内に閉じ込められた表面が形成されるか。
• RQ2 単位立体角当たりの入射放射エネルギーが、閉じ込められた表面およびブラックホールの形成にどのように影響を与えるか。
• RQ3 $ L^p $ 評価が接続係数および曲率成分が、解のグローバル存在および正則性を制御する上で果たす役割は何か。
• RQ4 漸近的に平坦な特徴的初期データから、未来の完全な発展を含む未来のイベントホライズンを持つ時空を構成できるか。
• RQ5 最大発展が未来の光線的測地線で不完全になる、正確な幾何的および力学的メカニズムは何か。

主な発見

• 入射放射エネルギーが $ \int_0^\delta e_\infty(u, \vartheta)\,du \geq k $ を満たすすべての $ \vartheta \in S^2 $ に対して成り立つならば、閉じ込められた表面が形成され、その面積半径は $ |r - 1| \leq O(\delta) $ を満たす。
• 制限されたエネルギーflux $ e_\infty(u, \vartheta) $ は、$ \frac{1}{8\delta} \left| \partial_s \psi_0(u/\delta, \vartheta) \right|^2 $ として定義され、単位立体角当たりの入射放射パワーの8π倍を表す。
• 過去の光円錐無限遠のデータ $ (\psi_0, \psi_0') $ から構成された解は一意的であり、$ \phi(u,u,\vartheta) \to 1 $ および $ |u|^{-1} \hat{\chi}_{AB} \to \frac{w^2(\vartheta)}{2\delta^{1/2}} \partial_s \psi_0(u/\delta, \vartheta) $ が $ u \to -\infty $ のとき成り立つ。
• 最大発展は、すべての $ u \leq c < 0 $ に対して完全なnull超曲面 $ \mathcal{C}_u $ を含み、未来の光円錐無限遠の近傍を含むため、完全なブラックホール時空が形成されることを示している。
• 条件 $ \int_0^\delta e_\infty(u, \vartheta)\,du \geq k $ がすべての $ \vartheta $ で成り立つならば、閉じ込められた球面の面積半径は $ |r - 1| \leq O(\delta) $ を満たし、$ k \to 1 $、$ \delta \to 0 $ の極限で球対称不等式 $ 2E/r \geq 1 $ を回復する。
• ある方向で条件を満たさない場合、$ \mathcal{C}_{-1-\delta} $ のある生成子に $ \operatorname{tr} \chi' < 0 $ が成り立ち、共役点または測地線の不完全性が生じ、特異性形成の兆候が現れる。