[論文レビュー] The fourth moment of Dirichlet $L$-functions along a coset and the Weyl bound

Ian Petrow, Matthew P. Young|arXiv (Cornell University)|Aug 27, 2019

Analytic Number Theory Research被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、導子が立方自由でない場合を含め、すべてのディリクレ $L$-関数に対して、Weyl強度の部分凸界を確立する。従来の立方自由導子制限を除去した。$L$-関数の $q$-側面における双対性と高度な自動形式を用いて、ディリクレ指標の陪類に沿った四次モーメントに対する Lindelöf 平均上界を証明することで、著者らは以前の結果を拡張し、最終的に最適な $O(q^{1/6+\varepsilon})$ の部分凸界を達成する。

ABSTRACT

We prove a Lindelöf-on-average upper bound for the fourth moment of Dirichlet $L$-functions of conductor $q$ along a coset of the subgroup of characters modulo $d$ when $q^*|d$, where $q^*$ is the least positive integer such that $q^2|(q^*)^3$. As a consequence, we finish the previous work of the authors and establish a Weyl-strength subconvex bound for all Dirichlet $L$-functions with no restrictions on the conductor.

研究の動機と目的

• すべての原始的ディリクレ $L$-関数に対して、導子の構造にかかわらず、Weyl強度の部分凸界を確立すること。
• 著者らの以前の立方モーメントに関する結果の適用範囲を制限していた立方自由導子仮定を除去すること。
• $q^* \nmid d$ であるような $d$ を法とする陪類に沿った $L$-関数の四次モーメントに対する Lindelöf 平均上界を証明すること。
• 非立方自由導子を扱えるように $q$-側面における双対性手法を拡張し、特異指標の寄与を分析すること。
• アーキメデス的および非アーキメデス的寄与の統一的取り扱いを通じて、ディリクレ $L$-関数の部分凸性プログラムを完成させること。

提案手法

• Bruggeman-Kuznetsov 公式と Poisson 合成を適用し、立方モーメントを指標和 $g(\theta, \rho)$ を含む双対モーメントに変換する。
• 中心的な解析的推定として、$\sum_{\psi \pmod{q}} |L(1/2, \psi)|^4 g(\chi, \psi) \ll q^{2+\varepsilon}$ を用いる。
• 乗法的構造と $p$-進手法を用いて指標和 $g(\chi, \psi)$ を分析し、特に $q = p^3$ の場合に特異指標が生じる場合に注目する。
• $\ell$-adic シーヴ理論と Deligne のリーマン予想を用いて $q = p$ の場合の $g(\chi, \psi)$ を評価し、$q = p^2$ の場合は初等的推定を用いる。
• Eisenstein 級数の寄与を、ねじれた $L$-関数から極項を分離し、Mellin 変換とスペクトル分解を用いて評価する。
• dyadic 分割の単位およびスペクトル分解を用いて、$h \equiv 0 \pmod{d}$ における和を制御し、$S_{\text{Maass}}, S_{\text{hol}}, S_{\text{Eis}}$, および $S_{\text{Pole}}$ の有界性を利用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 導子 $q$ が立方自由でない場合を含め、すべての原始的ディリクレ指標 $\chi$ に対して、$L(1/2 + it, \chi) \ll (q(1+|t|))^{1/6+\varepsilon}$ である Weyl 界を示せるか？
• RQ2 $q$ が立方自由でない場合、特に $q = p^3$ の場合に、四次モーメント $\sum_{\psi \pmod{q}} |L(1/2, \psi)|^4 g(\chi, \psi)$ の振る舞いはいかなるものか？
• RQ3 $q = p^3$ で $p \equiv 1 \pmod{4}$ の場合に、特異指標 $\psi$ が双対性およびモーメント推定に与える影響は何か？
• RQ4 新しいモーメント推定を用いて、$L(1/2, \pi \otimes \chi) \geq 0$ に基づく正値性議論を立方自由でない場合にまで拡張できるか？
• RQ5 Eisenstein 級数項における極寄与 $S_{\text{Pole}}$ の正確な大きさは何か？ そして、それが必要な誤差許容範囲内に収まっているか？

主な発見

• 本稿は、導子に制限を設けず、すべての原始的ディリクレ指標 $\chi$ に対して、$L(1/2 + it, \chi) \ll_{\varepsilon} (q(1+|t|))^{1/6+\varepsilon}$ である Weyl 界を確立する。
• 著者らは、四次モーメントに対する Lindelöf 平均上界を証明する：$\sum_{\psi \pmod{q}} |L(1/2, \psi)|^4 g(\chi, \psi) \ll_{\varepsilon} q^{2+\varepsilon}$ であり、これは $q$ が立方自由でない場合にも成り立つ。
• $p \equiv 1 \pmod{4}$ で $q = p^3$ の場合、$|g(\chi, \psi)| = p^{1/2} q$ となる特異指標 $\psi$ が $2(p-1)$ 個存在し、これらは精密な和の分解により取り扱われる。
• 極寄与 $S_{\text{Pole}}(\chi)$ は $O(d^{-1/8} \cdot \frac{NH}{q} (Nq)^\varepsilon)$ で有界であり、これは主要項に影響を与えないほど十分に小さい。
• Maass、正則的、Eisenstein の寄与に対する有界性は、dyadic 分解とスペクトル解析を通じて統一され、すべての項が $O((Nq)^\varepsilon N q^{-1} H)$ で制御される。
• 最終的な推定により、スペクトル和における $h \equiv 0 \pmod{d}$ における和が $O((Nq)^\varepsilon N q^{-1} H)$ で有界であることが確認され、これにより定理 1.5 が証明され、結果として定理 1.1 も完成する。