[論文レビュー] The Fractional Local Metric Dimension of Graphs

Hira Benish, Muhammad Murtaza+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2018

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、局所的メトリック次元の緩和として、各頂点に重みを割り当てる関数 f: V → [0,1] を用いて定義されるグラフの分数局所的メトリック次元（FLMD）を導入する。ここで、f(L(xy)) ≥ 1 がすべての辺 xy に対して成り立つ。主な貢献は、FLMD = |V(G)|/2 を満たすグラフの特徴付けと、カルテシアン積および強い積におけるFLMDのタイトな境界の確立であり、特に K₂ □ Cₙ および G □ Kₙ に対して正確な値を示している。

ABSTRACT

The fractional versions of graph theoretic-invariants multiply the range of applications in scheduling, assignment and operational research problems. In this paper, we introduce the fractional version of local metric dimension of graphs. The local resolving neighborhood $L(xy)$ of an edge $xy$ of a graph $G$ is the set of those vertices in $G$ which resolve the vertices $x$ and $y$. A function $f:V(G) ightarrow[0, 1]$ is a local resolving function of $G$ if $f(L(xy))\geq1$ for all edges $xy$ in $G$. The minimum value of $f(V(G))$ among all local resolving functions $f$ of $G$ is the fractional local metric dimension of $G$. We study the properties and bounds of fractional local metric dimension of graphs and give some characterization results. We determine the fractional local metric dimension of strong and cartesian product of graphs.

研究の動機と目的

• 分数局所的メトリック次元を新たなグラフ不変量として導入し、形式化すること。
• 分数局所的メトリック次元が頂点数の半分に等しいグラフを特徴付けること。
• 特にカルテシアン積および強い積に対して、分数局所的メトリック次元の境界および正確な値を確立すること。
• 分数局所的メトリック次元と分数メトリック次元を比較し、挙動の違いを強調すること。

提案手法

• すべての辺 xy に対して、f(L(xy)) ≥ 1 が成り立つような局所的解消関数 f: V(G) → [0,1] を定義する。ここで L(xy) は局所的解消近傍を表す。
• すべてのこのような局所的解消関数における総重み |f| = Σf(v) の最小値として、分数局所的メトリック次元を形式化する。
• 線形計画緩和技術を用いて、分数局所的メトリック次元を分析し、境界を導出する。
• 真のツインと頂点近傍の性質を活用して、構造的特徴付けを導出する。
• 組合せ的議論と近傍包含関係を用いて、グラフ積の境界を導出する。
• 一様な重み割り当て f(v) = 1/(2m) を用いた構成により、境界のタイトさを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのグラフ G に対して分数局所的メトリック次元が |V(G)|/2 に等しくなるか？
• RQ2 グラフの分数局所的メトリック次元は、その局所的メトリック次元および分数メトリック次元とどのように関係するか？
• RQ3 グラフ積、特にカルテシアン積および強い積の分数局所的メトリック次元の正確な値は何か？
• RQ4 グラフ積の分数局所的メトリック次元に対してタイトな下界を確立できるか？
• RQ5 ldim_f(H) = n/2 のとき、ldim_f(G□H) ≥ n/2 の境界がどのような条件下でタイトか？

主な発見

• 分数局所的メトリック次元が |V(G)|/2 に等しいグラフは、すべての頂点が真のツインをもつものに限る。
• 分数局所的メトリック次元は ldim_f(G) ≤ ldim(G) ≤ |V(G)| − 1 を満たし、ldim_f(G) = 1 となるのは G が二部グラフであるときかつそのときに限る。
• 奇数 n ≥ 3 に対して K₂ □ Cₙ の分数局所的メトリック次元は正確に n/(n−1) に等しい。
• |V(G)| < n のとき、G □ Kₙ の分数局所的メトリック次元は正確に n/2 に等しい。
• ldim_f(H) = n/2 のとき、ldim_f(G□H) ≥ n/2 の境界は成り立ち、G□Kₙ における構成によりこれがタイトであることが示された。
• 2 ≤ k ≤ n かつ n ≥ 3 のとき、K_k □ K_n の分数局所的メトリック次元は正確に n/2 に等しい。