[論文レビュー] The fragmentation process of an infinite recursive tree and Ornstein-Uhlenbeck type processes

Erich Baur, Jean Bertoin|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2015

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 14被引用数 19

ひとこと要約

この論文は、各辺が指数分布に従う独立な時刻に削除される無限のランダム再帰的木の断片化を研究しており、交換可能性を満たさないパーティション値過程が得られる。標準的な断片化測度の可積分性条件を満たさないにもかかわらず、著者らは時間に依存する正規化を導入し、ブロックの重みを定義する。この重みの過程は、ブラウン運動的挙動を示し、漸近的に独立な指数分布に収束することが示された。

ABSTRACT

We consider a natural destruction process of an infinite recursive tree by removing each edge after an independent exponential time. The destruction up to time t is encoded by a partition $\\Pi$(t) of N into blocks of connected vertices. Despite the lack of exchangeability, just like for an exchangeable fragmentation process, the process $\\Pi$ is Markovian with transitions determined by a splitting rates measure r. However, somewhat surprisingly, r fails to fulfill the usual integrability condition for the dislocation measure of exchangeable fragmentations. We further observe that a time-dependent normalization enables us to define the weights of the blocks of $\\Pi$(t). We study the process of these weights and point at connections with Ornstein-Uhlenbeck type processes.

研究の動機と目的

• 無限の再帰的木におけるランダムな辺の削除によって生じる断片化過程を分析すること。
• 交換可能性に欠けるにもかかわらず、パーティション値過程 Π(t) の構造を理解すること。
• 時間に依存する正規化を用いて、Π(t) のブロックの重みを定義し、それらを研究すること。
• ブロック重みの過程とオルンシュタイン＝ウーレンバック型過程との関係を確立すること。
• ユール過程およびポリアの壺と関連づけ、重みの明示的な分布的性質を導出すること。

提案手法

• 各新しい頂点が既存の頂点に一様にランダムに接続する成長する確率的構造として、無限の再帰的木をモデル化する。
• 各辺を独立に指数分布に従う時刻に削除することで破壊過程を定義し、ℕ の時刻に依存するパーティション Π(t) を得る。
• 時間に依存する正規化を導入し、Π(t) のブロックに意味のある「重み」を割り当てる。定義は limₙ→∞ n^{e^{-t}} # {i ≤ n : i ∈ B(t)} である。
• ユール過程およびポリアの壺との関連を用いて、固定時刻 t におけるブロック重みの同時分布を導出する。
• モーメント母関数およびベータ・ガンマ恒等式を用いて、重みの漸近的挙動を分析する。
• 対数スケーリングによる変換を通じて、重みの過程が分岐型オルンシュタイン＝ウーレンバック過程に類似していることを明らかにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 辺が独立に指数分布に従う時刻に削除される無限の再帰的木の断片化過程は、どのように振る舞うか？
• RQ2 なぜ分割レート測度は交換可能な断片化の標準的可積分性条件を満たさないのか、その影響は何か？
• RQ3 交換可能性に欠けるにもかかわらず、パーティション Π(t) のブロックに意味のある「重み」を割り当てることは可能か？
• RQ4 t → ∞ のとき、ブロック重みの極限分布は何か？
• RQ5 ブロック重みの過程は、オルンシュタイン＝ウーレンバック型過程とどのように関連しているか？

主な発見

• 時間に依存する正規化を施したブロック重みの過程は、t → ∞ のとき、独立な指数確率変数の列に分布収束する。
• 固定時刻 t > 0 に対して、正規化されたサイズ n^{e^{-t}} X_n(t) は弱収束して V^{e^{-t}} X_1(t) に収束する。ここで V は X_1(t) と独立な指数分布に従う。
• t → 0+ のとき、最初のブロック重み X_1(t) は確率論的に 1 に収束し、ほとんど確実に他のすべてのブロック重みを上回る。
• 有限の再帰的木において p = e^{-t} としたときの正規化されたクラスターサイズの極限は臨界的であり、ルートおよび2番目に大きなクラスターサイズは両方とも n^{e^{-t}} のオーダーである。
• ブロック重みの過程の対数変換は、分岐型オルンシュタイン＝ウーレンバック過程に類似しており、よく知られた確率過程と関連している。
• 時刻 t における最初の j+1 個のブロック重みの同時モーメントは、t → ∞ のとき ∏_{i=1}^{j+1} Γ(q_i + 1) に収束し、独立な指数分布への収束が裏付けられる。