[論文レビュー] The free energy of a quantum Sherrington-Kirkpatrick spin-glass model for weak disorder

Hajo Leschke, Sebastian Rothlauf+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 13, 2019

Theoretical and Computational Physics参考文献 95被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、横磁場を伴う量子シャーリング＝キルカップ（Sherrington-Kirkpatrick: SK）モデルに対して、古典的スピンガラス理論をきめ細かく拡張し、弱い不純度（v < 1/β）の下で、 quenched自由エネルギーが確実に（almost surely） annealed自由エネルギーと一致することを証明した。これはスピンガラス相が存在しないことを示唆する。Feynman-Kac経路積分表現（Poisson過程に基づく）を用いて、マクロなannealed自由エネルギーを関数の汎関数の全球的最小値として導出し、(βv)^4までの項で明示的なテイラー係数と誤差項の上限を計算した。

ABSTRACT

We extend two rigorous results of Aizenman, Lebowitz, and Ruelle in their pioneering paper of 1987 on the Sherrington-Kirkpatrick spin-glass model without external magnetic field to the quantum case with a "transverse field" of strength $b$. More precisely, if the Gaussian disorder is weak in the sense that its standard deviation $v>0$ is smaller than the temperature $1/\beta$, then the (random) free energy almost surely equals the annealed free energy in the macroscopic limit and there is no spin-glass phase for any $b/v\geq0$. The macroscopic annealed free energy (times $\beta$) turns out to be non-trivial and given, for any $\beta v>0$, by the global minimum of a certain functional of square-integrable functions on the unit square according to a Varadhan large-deviation principle. For $\beta v<1$ we determine this minimum up to the order $(\beta v)^4$ with the Taylor coefficients explicitly given as functions of $\beta b$ and with a remainder not exceeding $(\beta v)^6/16$. As a by-product we prove that the so-called static approximation to the minimization problem yields the wrong $\beta b$-dependence even to lowest order. Our main tool for dealing with the non-commutativity of the spin-operator components is a probabilistic representation of the Boltzmann-Gibbs operator by a Feynman-Kac (path-integral) formula based on an independent collection of Poisson processes in the positive half-line with common rate $\beta b$. Its essence dates back to Kac in 1956, but the formula was published only in 1989 by Gaveau and Schulman.

研究の動機と目的

• 1987年にAizenman, Lebowitz, Ruelleが得た古典的SKモデルに関する結果を、横磁場を伴う量子系に拡張すること。
• 弱い不純度下で、マクロな極限においてquenched自由エネルギーとannealed自由エネルギーがほとんど確実に等しくなることを確立すること。
• 大偏差に基づく変分原理を用いて、マクロなannealed自由エネルギーの明示的表現を導出すること。
• 静的近似が、一次の項ですらも正しいβb依存性を捉えていないことの証明。
• 非可換スピン演算子を扱える確率的Feynman-Kac表現を構築し、それらを量子スピンガラスモデルに応用すること。

提案手法

• 独立なPoisson過程（強度βb）に基づくFeynman-Kac経路積分公式を用いて、Boltzmann-Gibbs作用素を表現する。
• Varadhanの大偏差原理を適用し、マクロなannealed自由エネルギーを単位正方形上でのL²関数の上での汎関数の全球的最小値として表現する。
• トレースのスピン反転表現を用いて、annealed自由エネルギーを経路上の確率的平均として導出する。
• Jensen-Peierls-Bogolyubov不等式を用いて、不純度に関する自由エネルギーのリプシッツ連続性を証明し、大偏差推定に有効な基盤を提供する。
• 変分汎関数を(βv)^4までの項でテイラー展開し、βbの関数として明示的な係数を計算する。
• 静的近似が一次項でも誤ったβb依存性を導くことから、手法の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 横磁場を伴う量子SKモデルのquenched自由エネルギーは、弱い不純度下でマクロな極限においてannealed自由エネルギーと一致するか？
• RQ2 マクロなannealed自由エネルギーの明示的形は、変分原理によってどのように表現されるか？
• RQ3 自由エネルギーのβb依存性は、静的近似が予測するものとどの程度異なるか？
• RQ4 Poisson過程に基づく確率的Feynman-Kac表現は、非可換スピン演算子を扱えるか？
• RQ5 弱い不純度下でのannealed自由エネルギーの一次項の振る舞いは何か？誤差項の大きさは？

主な発見

• 弱い不純度（v < 1/β）の下で、マクロな極限においてquenched自由エネルギーはほとんど確実にannealed自由エネルギーと一致する。
• マクロなannealed自由エネルギーは、Varadhanの大偏差原理に従い、単位正方形上でのL²関数の上での汎関数の全球的最小値として与えられる。
• 最小値は(βv)^4までの項で明示的に計算され、係数はβbの関数として与えられ、剰余項は(βv)^6/16で有界である。
• 静的近似は、一次項でも誤ったβb依存性を導くため、この領域では有効ではないことが示された。
• Poisson過程に基づく確率的Feynman-Kac公式は、非可換スピン演算子を扱える厳密な道具である。
• 自由エネルギーに対する大偏差推定が得られ、quenched自由エネルギーがそのannealed平均のまわりにNの指数的減少で集中することが示された。