[論文レビュー] The free field: zero divisors, Atiyah property and realizations via unbounded operators

Tobias Mai, Roland Speicher+1 more|arXiv (Cornell University)|May 10, 2018

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ひとこと要約

本稿は、非可換有理関数の代数的枠組みと解析的枠組みの間の同型を確立し、最大自由エントロピー次元を有する作用素の対に対して、非自明な有理関数が零因子のない有界でない作用素に評価されることを示している。主な結果は、自由体における可逆な行列が、有界でない作用素としても可逆のままであることを確認しており、零因子問題を解決するとともに、アティヤの性質と関連づけている。

ABSTRACT

We consider noncommutative rational functions as well as matrices in polynomials in noncommuting variables in two settings: in an algebraic context the variables are formal variables, and their rational functions generate the "free field"; in an analytic context the variables are given by operators from a finite von Neumann algebra and the question of rational functions is treated within the affiliated unbounded operators. Our main result shows that for a "good" class of operators - namely those for which the free entropy dimension is maximal - the analytic and the algebraic theory are isomorphic. This means in particular that any non-trivial rational function can be evaluated as an unbounded operator for any such good tuple and that those operators don't have zero divisors. On the matrix side, this means that matrices of polynomials which are invertible in the free field are also invertible as matrices over unbounded operators when we plug in our good operator tuples. We also address the question how this is related to the strong Atiyah property. The above yields a quite complete picture for the question of zero divisors (or atoms in the corresponding distributions) for operator tuples with maximal free entropy dimension. We give also some partial results for the question of existence and regularity of a density of the distribution.

研究の動機と目的

• 有限フォン・ノイマン代数における非可換有理関数（自由体）の代数的枠組みと、有界でない作用素の解析的枠組みを統合すること。
• 最大自由エントロピー次元を有する作用素の対における非可換有理関数の零因子問題を解決すること。
• 自由体における代数的可逆性と、有界でない作用素設定における解析的可逆性の間の同値性を確立すること。
• 最大自由エントロピー次元と強いアティヤの性質との間の関係を調査すること。
• このような作用素の対におけるスペクトル分布の正則性および絶対連続性を検討すること。

提案手法

• 非可換多項式上の行列の内部ランクおよびフルネスを分析するため、行列式微分計算および非可換微分を用いる。
• ボイクルスコの公式およびダブロフスキーの不等式を適用し、自由フィッシャー情報量と自由エントロピー次元を関連付ける。
• 有理関数の線形化技術および有理関数の閉包を用いて、非可換有理式を扱う。
• 共役系および $L^2$-理論を用いて自由微分作用素の構造を研究し、有界でない作用素の構造を分析する。
• 還元的議論および行列分解（例えば、可逆な $U$、$V$ を用いて）を用い、行列を標準形に還元する。
• 特に、付随する有界でない作用素およびシャッテンクラス作用素の理論を含む、自由確率論および作用素代数の結果に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換有理関数が、零因子のない有界でない作用素に評価される条件は何か？
• RQ2 自由体における代数的性質は、有界でない作用素の設定における解析的性質とどのように関係するか？
• RQ3 最大自由エントロピー次元が、有理関数の作用素設定における行列の可逆性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ4 強いアティヤの性質は、有理関数のスペクトル分布におけるアトムの不在とどのように関連するか？
• RQ5 このような作用素の対において、スペクトル測度の絶対連続性および正則性を保証する条件は何か？

主な発見

• 最大自由エントロピー次元を有する作用素の対に対して、すべての非自明な有理関数が、零因子のない有界でない作用素に評価される。
• 自由体において可逆である多項式行列は、このような対に代入された際に、有界でない定義域上でも可逆のままである。
• 最大自由エントロピー次元を有する作用素に対して、非可換有理関数の代数的理論と解析的理論は同型である。
• このような作用素の対に対して強いアティヤの性質が成り立ち、有理関数のスペクトル分布にアトムが存在しないことを示唆する。
• 適切な条件下で、このような対における有理関数のスペクトル測度は絶対連続であり、トレース公式および双対系が構造的洞察を提供する。
• 本稿は、非可換多項式上のフル行列が可逆変換を用いて標準形に還元可能であることを確立し、可逆性に不可欠な構造的性質を確認した。