[論文レビュー] The Fujita phenomenon in exterior domains under the Robin boundary conditions

Jean-François Rault|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2010

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 13被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、$[\mathbb{R}^N$] の外部領域における非線形放物型方程式 $[\partial_t u = \Delta u + u^p$] に対して、ロビン境界条件のもとでフジタ現象を確立する。$p < 1 + \frac{2}{N}$ の場合、すべての正の解は有限時刻で爆発する。一方、$p > 1 + \frac{2}{N}$ の場合、初期データが十分に小さいときには大域的解が存在しうる。これは、ロビン条件下でも臨界指数が $1 + \frac{2}{N}$ のまま維持されることを確認する。

ABSTRACT

The Fujita phenomenon for nonlinear parabolic problems dtu = \\deltau + up in an exterior domain of RN under the Robin boundary conditions is investigated in the superlinear case. As in the case of Dirichlet boundary conditions, it turns out that there exists a critical exponent p = 1+2/N such that blow-up of positive solutions always occurs for subcritical exponents, whereas in the supercritical case global existence can occur for small non-negative initial data.

研究の動機と目的

• 外部領域におけるロビン境界条件のもとで、フジタ現象（臨界以下の $p$ に対して有限時刻爆発、臨界以上の $p$ に対して大域的解が存在する）が成立するかを同定すること。
• 従来のディリクレおよびノイマン（または $\alpha = \infty$）の場合の結果を、一般のロビン設定（$\alpha \geq 0$）に拡張すること。
• 境界条件の強さパラメータ $\alpha$ が臨界指数および解の挙動に与える影響を分析すること。

提案手法

• 外部領域 $[\mathbb{R}^N$] を exhaustion する入れ子構造の有界領域 $D_n$ を用いた切断手続きにより解を構成し、$\partial D_n$ 上でゼロディリクレ境界条件を課す。
• 比較原理を用いて、解 $u_n$ を常微分方程式 $\dot{z} = z^p$, $z(0) = \|\varphi\|_\infty$ の解 $z$ で上から抑える。これにより局所的 $C^{2,1}$ 収束が保証される。
• 上解法を用い、関数 $U(x,t) = A(t+t_0)^{-\mu} \exp\left(-\frac{\|x\|^2}{4(t+t_0)}\right)$ を用いて、初期データが小さい場合の大域的解の存在を証明する。
• 背理法による爆発の証明：大域的解の存在を仮定すると、対応するディリクレ問題における既知の爆発結果と矛盾する。
• ラプラシアンに代えて、変数係数をもつ一般の2階楕円型作用素 $L$ への一般化。
• PDEにおける時間的・空間的依存性を持つ非線形項 $t^q \|x\|^s u^p$ の分析。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 外部領域におけるロビン境界条件のもとで、フジタ臨界指数 $p_c = 1 + \frac{2}{N}$ が爆発と大域的解の境界として維持されるか？
• RQ2 ロビンパラメータ $\alpha \geq 0$ は、臨界指数および解の長期的挙動にどのように影響を与えるか？
• RQ3 初期データが十分に小さい場合、$p > 1 + \frac{2}{N}$ に対しても大域的解が存在しうるか？
• RQ4 楕円型作用素 $L$ の変数係数が、爆発または大域的解の閾値に与える影響は？
• RQ5 時間的・空間的依存性を持つ非線形項 $t^q \|x\|^s u^p$ がフジタ型挙動に与える影響は？

主な発見

• $p < 1 + \frac{2}{N}$ の場合、与えられた正則性仮定のもと、ロビンパラメータ $\alpha \geq 0$ にかかわらず、すべての非自明な正の解は有限時刻で爆発する。
• $p = 1 + \frac{2}{N}$ かつ $N \geq 3$ の場合、すべての非自明な正の解に対しても爆発が生じる。
• $p > 1 + \frac{2}{N}$ の場合、初期データ $\varphi$ が十分に小さいとき、上解の構成により大域的正の解が存在する。
• ラプラシアンが一般の2階楕円型作用素 $L$（変数係数をもつ）に置き換えられても、臨界指数は $1 + \frac{2}{N}$ のまま維持される。
• 非線形項が $t^q \|x\|^s u^p$ に一般化された場合、ドリフトおよび拡散項に適切な条件が満たされれば、$1 < p < 1 + \frac{2 + 2q + s}{N}$ のとき爆発が生じる。
• 初期データが十分に小さいとき、$p > 1 + \frac{2 + 2q + s}{2\gamma_0}$ に対して大域的解が存在しうる。ただし $\gamma_0 = \inf_{\overline{\Omega}} \left( \text{trace}(A) + l^* \right) > 0$ とする。