[論文レビュー] The full automorphism group of the power (di)graph of a finite group

Min Feng, Xuanlong Ma+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 11, 2014

Finite Group Theory Research参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、任意の有限群のべき有向グラフおよびべきグラフの完全な自己同型群を特定し、2013年にDostabadi, Erfanian, Jafarzadehが提起した予想を解決する。自己同型群は、巡回部分群の生成元上の対称群の半直積と、巡回部分群構造を保つ群の直積であり、$ n $ が素数べきでない場合に予想が正当化されることを示している。

ABSTRACT

We describe the full automorphism group of the power (di)graph of a finite group. As an application, we solve a conjecture proposed by Doostabadi, Erfanian and Jafarzadeh in 2013.

研究の動機と目的

• 任意の有限群のべき（有向）グラフの完全な自己同型群を特定すること。
• Doostabadi, Erfanian, Jafarzadeh が2013年に提起した $ \mathbb{Z}_n $ のべきグラフの自己同型群に関する予想を解決すること。
• 巡回部分群およびその生成元を用いた自己同型群の構造を特徴づけること。
• 特に $ n $ が素数べきでない場合に予想が成り立つ条件を確立すること。

提案手法

• すべての巡回部分群からなる集合 $ \mathcal{C}(G) $ を定義し、各巡回部分群 $ C \in \mathcal{C}(G) $ の生成元の集合を $ [C] $ とする。
• $ \mathcal{C}(G) $ 上の置換の群 $ P(G) $ を導入し、これは巡回部分群の順序、包含関係、非包含関係を保つ。
• べき有向グラフの自己同型群を $ \left(\prod_{i=1}^{k} S_{[C_i]}\right) \rtimes P(G) $ として構成する。ここで $ S_{[C_i]} $ は $ C_i $ の生成元に作用する。
• 関係 $ N[x] = N[y] $ による同値類 $ \overline{x} $ を定義し、それらを用いてべきグラフの自己同型群を $ \left(\prod_{i=1}^{l} S_{\overline{u_i}}\right) \rtimes P(G) $ として記述する。
• 初等アーベル $ p $-群の自己同型群を、$ S_{p-1} \wr S_m $ の形の wreath 積構造を用いて記述する。
• 部分群格子と自己同型の作用を用いて、特定の群（巡回群、初等アーベル群、二面体群、一般化されたクォaternion群）に対して結果を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限群のべき有向グラフの完全な自己同型群は何か？
• RQ2 有限群のべきグラフの完全な自己同型群は何か？
• RQ3 $ n $ が素数べきでない場合に、2013年の $ \mathrm{Aut}(\mathcal{P}_{Z_n}) $ に関する予想は成り立つか？
• RQ4 べきグラフにおける閉近傍に基づく同値類上での自己同型の作用はいかなるものか？
• RQ5 二面体群および一般化されたクォaternion群の自己同型群の構造は何か？

主な発見

• 有限群 $ G $ のべき有向グラフの自己同型群は、$ P(G) $ が巡回部分群構造を保つことを利用して、$ \left(\prod_{i=1}^{k} S_{[C_i]}\right) \rtimes P(G) $ と同型である。
• 有限群 $ G $ のべきグラフの自己同型群は、閉近傍が同一の頂点の同値類 $ \overline{u_i} $ を用いて、$ \left(\prod_{i=1}^{l} S_{\overline{u_i}}\right) \rtimes P(G) $ と同型である。
• 2013年の $ \mathrm{Aut}(\mathcal{P}_{Z_n}) $ に関する予想は、$ n $ が素数べきでない場合に正当化され、$ \mathrm{Aut}(\mathcal{P}_{Z_n}) \cong S_{\varphi(n)+1} \times \prod_{d \in D(n)\setminus\{1,n\}} S_{\varphi(d)} $ が成り立つ。
• 初等アーベル $ p $-群 $ \mathbb{Z}_p^n $ の自己同型群は $ S_{p-1} \wr S_m $ と同型であり、ここで $ m = \frac{p^n - 1}{p - 1} $ である。
• 二面体群 $ D_{2n} $ に対しては、$ n $ が素数べきでない場合、$ \mathrm{Aut}(\mathcal{P}_{D_{2n}}) \cong \prod_{d \mid n} S_{\varphi(d)} \times S_n $ であり、$ n $ が素数べきの場合には $ S_{n-1} \times S_n $ である。
• 一般化されたクォaternion群 $ Q_{4n} $ に対しては、$ n $ が2のべきでない場合、べきグラフの自己同型群は $ \prod_{d \mid 2n} S_{\varphi(d)} \times (S_2 \wr S_n) $ と同型であり、$ n $ が2のべきである場合には $ S_2 \times S_{2n-2} \times (S_2 \wr S_n) $ と同型である。