[論文レビュー] The Full Laplace-Beltrami operator on U(N) and SU(N)

Ole L. Trinhammer, Gestur Ólafsson|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 1999

Spectral Theory in Mathematical Physics被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、ユニタリ群 U(N) および SU(N) 上の全ラプラス＝ベルトラミ・作用素を導出し、パラメータ化された形で径方向および非対角成分を提供する。非対角項は、SU(3) および U(3) におけるゲルマン行列を簡略化した表記法を用いて表現され、作用素は I、U、V スピン対称性と結びつけられ、格子ゲージ理論や群表現論の研究において実用的である。

ABSTRACT

The Laplacian on the Lie groups U(N) and SU(N) is given in a parametrized edition for practical purposes. The radial part is often seen in work on lattice gauge theory, but here is derived also the off-diagonal part which in SU(3) and U(3) is expressed via the well known Gell-Mann matrices but with a more easily memorized notation. Relations to I, U and V spin are also shown.

研究の動機と目的

• U(N) および SU(N) 群上のラプラス＝ベルトラミ作用素の完全なパラメータ化表現を提供すること。
• 格子ゲージ理論の取り扱いにおいてしばしば無視される、ラプラシアンの非対角成分を導出すること。
• SU(3) および U(3) におけるゲルマン行列を用いて、これらの成分をより覚えやすくする形で表現すること。
• ラプラス＝ベルトラミ作用素と I、U、V スピン量子数の間の関係を確立すること。

提案手法

• ユニタリ群 U(N) および SU(N) 上の不変計量を用いてラプラス＝ベルトラミ作用素を導出する。
• 群元のパラメータ化を用いて、作用素の径方向および非対角部分を分離する。
• 非対角項は、より扱いやすくするための簡略化された表記法を用いたゲルマン行列で表現する。
• 群表現論を用いて、作用素の構造を I、U、V スピン対称性の生成子と関連付ける。
• 導出を SU(3) および U(3) に対して明示的に適用し、これらのケースにおける作用素の形を示す。
• パラメータ化により、特に格子ゲージ理論における物理的応用での実用的利用が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 U(N) および SU(N) 上の全ラプラス＝ベルトラミ作用素を、径方向および非対角成分を含むパラメータ化された形でどのように表現できるか？
• RQ2 SU(3) および U(3) におけるラプラシアンの非対角項を、最も簡潔かつ記憶にやすい形で表現する方法は何か？
• RQ3 I、U、V スピン対称性の生成子は、これらの群上のラプラス＝ベルトラミ作用素の構造とどのように関係するか？
• RQ4 作用素のパラメータ化形態は、格子ゲージ理論への応用をどのように容易にするか？

主な発見

• U(N) および SU(N) 上の全ラプラス＝ベルトラミ作用素が、径方向および非対角成分を含むパラメータ化された形で導出された。
• SU(3) および U(3) において、ゲルマン行列の簡略化された表記法を用いて非対角項が表現され、記憶性と利用可能性が向上した。
• 作用素の構造は、明示的に I、U、V スピン量子数と関連しており、微分幾何学と物理的対称性を結びつける。
• パラメータ化された形態は、このような作用素が頻繁に必要とされる格子ゲージ理論における計算の実用的ツールを提供する。