[論文レビュー] The Functional Bootstrap for Boundary CFT

Apratim Kaviraj, Miguel F. Paulos|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2018

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 46被引用数 7

ひとこと要約

本稿は境界 conformal field theory (BCFT) のための関数的ブートストラップを導入し、一般化自由場の解に対応する線形汎関数を用いて交差対称性の制約を和則として定式化する。これはポリコフ型のアプローチと同等であり、接触項の不確かさを解消し、一般化自由場の周りでの摂動論を対角化することで、4−ϵ次元におけるウィルスフィッシャー BCFT データを O(ϵ²) まで導出可能にする。

ABSTRACT

We introduce a new approach to the study of the crossing equation for CFTs in the presence of a boundary. We argue that there is a basis for this equation related to the generalized free field solution. The dual basis is a set of linear functionals which act on the crossing equation to give a set of sum rules on the boundary CFT data: the functional bootstrap equations. We show these equations are essentially equivalent to a Polyakov-type approach to the bootstrap of BCFTs, and show how to fix the so-called contact term ambiguity in that context. Finally, the functional bootstrap equations diagonalize perturbation theory around generalized free fields, which we use to recover the Wilson-Fisher BCFT data in the $\epsilon$-expansion to order $\epsilon^2$.

研究の動機と目的

• 交差方程式を解く際に不定符号の OPE コefficient が生じるため、標準的な数値的ブートストラップ手法に課題を抱える境界 CFT (BCFT) に対して、関数的ブートストラップフレームワークを構築すること。
• ディリクレまたはノイマン境界条件を満たす BCFT における一般化自由場の解に対応する線形汎関数の基底を構築すること。
• 得られる関数的ブートストラップ方程式がポリコフ型のアプローチと同等であり、このような定式化における接触項の不確かさを解消できることを示すこと。
• 一般化自由場の解の周りでの摂動論を対角化し、相互作用を有する BCFT データの体系的計算を可能にすること。
• 4−ϵ次元において、この手法を用いてウィルスフィッシャー BCFT の OPE および BOE データを O(ϵ²) まで回復すること。

提案手法

• BCFT における一般化自由場の解から導かれる線形汎関数の集合を導入し、交差方程式に作用させる。
• ディリクレまたはノイマン境界条件を満たす一般化自由場の解を用いて、双対基底となる汎関数の基底を構築する。
• 境界およびボリューム OPE データを制約する和則として、交差対称性を保証する関数的ブートストラップ方程式を導出する。
• AdS にブレーンを含む Witten 図のブロック展開を用いて、関数的ブートストラップとポリコフ型のアプローチとの同等性を確立する。
• 関数的作用を用いて Witten 図のボリュームおよび境界ブロック展開における係数を計算し、それらを二重トレースおよび微分作用素への結合定数に対応付ける。
• 一般化自由場の解の周りで関数的ブートストラップ方程式を摂動展開し、ϵ 展開における OPE および BOE データの補正項を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的な数値的ブートストラップ手法が不定符号の OPE コefficient によって課題を抱える境界 CFT において、関数的ブートストラップアプローチを一般化できるか？
• RQ2 ディリクレまたはノイマン境界条件を満たす BCFT において、一般化自由場の解に対応する汎関数の基底をどのように構築できるか？
• RQ3 関数的ブートストラップ方程式が BCFT におけるポリコフ型ブートストラップ定式化とどの程度同等であるか？
• RQ4 関数的ブートストラップは、BCFT におけるポリコフアプローチの接触項の不確かさをどのように解消するか？
• RQ5 関数的ブートストラップは一般化自由場の周りでの摂動論を対角化し、ϵ 展開におけるウィルスフィッシャー BCFT データを計算可能にするか？

主な発見

• 関数的ブートストラップ方程式は、Witten 図のブロック展開における係数に対応する関数的作用と一致するポリコフ型の BCFT へのアプローチと同等である。
• 関数的作用における多項式項の係数を一意に固定することにより、ポリコフ ブートストラップにおける接触項の不確かさが解消される。
• 一般化自由場の解の周りでの摂動論は関数的ブートストラップによって対角化され、OPE および BOE データの体系的計算が可能になる。
• ウィルスフィッシャー BCFT データ（OPE および BOE 係数）は、関数的ブートストラップ方程式を用いて、ϵ 展開において O(ϵ²) まで成功裏に回復された。
• 境界およびボリュームブロックに対する関数的作用は、Witten 図のブロック展開を介して明示的に計算され、超幾何関数およびガンマ関数を用いて表現される。
• ノイマンの場合、境界チャネルのブロック係数の正規化は $ d_n^+ = \frac{1}{2} \partial_n e_n $ で与えられ、ここで $ e_n $ は正規化された関数的作用である。同様の式がボリュームおよびディリクレの場合に対しても導出された。