[論文レビュー] The functional equation of the Jacquet-Shalika integral representation of the local exterior-square $L$-function

James Cogdell, Nadir Matringe|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 11被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、任意の $n$ に対して $GL_n(F)$ の無限可解な既約表現の外部平方 $L$-関数の局所関数等式を確立し、Bernstein-Zelevinsky の導分と線形周期を用いて、以前の結果を奇数次元の場合 $GL_{2m+1}(F)$ に拡張する。Kewat と Raghunathan の先行研究との不一致を解消し、Jacquet-Shalika の積分表現に基づく完全に局所的な手法により、正しいグローバルおよび局所関数等式を確認する。

ABSTRACT

We prove the functional equation of the non archimedean exterior-square L-function of irreducible representations of GL(n), when n is odd.

研究の動機と目的

• 奇数次元の場合 $GL_{2m+1}(F)$ における外部平方 $L$-関数の局所関数等式を完成させること。
• Whittaker 型の表現を用いて、非一般表現に対しても関数等式を拡張すること。
• 本稿の関数等式と Kewat と Raghunathan [11] の関数等式との間に生じる不一致を是正・明確化すること、特に奇数次元の場合の不一致について。
• すべての $GL_n(F)$ の無限可解な既約表現に対して統一的な局所関数等式を提供することにより、将来の乗法性および分岐局所理論への応用を可能とすること。

提案手法

• 外部平方 $L$-関数の Jacquet-Shalika 積分表現を基礎枠組みとして用いる。
• Bernstein-Zelevinsky の導分理論を応用し、表現の構造とその $L$-関数を分析する。
• 線形周期の理論を奇数次元の場合に拡張し、第二著者の先行結果を介して Shalika 周期と関連付ける。
• グローバル仮定に依存しない完全に局所的な手法を用いて関数等式を導出する。
• グローバル関数等式 [9] からの形状の導出により、関数等式の妥当性を検証する。
• 文献 [14] における $\epsilon$-因子が単数であることの証明における誤りを是正し、定理 3.1 の議論を適応して正しさを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 奇数次元の場合 $GL_{2m+1}(F)$ における外部平方 $L$-関数の局所関数等式の正しい形は何か？
• RQ2 外部平方 $L$-関数の関数等式は、$GL_n(F)$ の非一般表現に対してもどのように拡張できるか？
• RQ3 Kewat と Raghunathan [11] の関数等式と Jacquet-Shalika [9] の関数等式の間に何が違い、どちらが正しいか？
• RQ4 グローバル積分表現に依存せずに、関数等式を完全に局所的に導出できるか？
• RQ5 奇数次元の場合における $\epsilon$-因子の性質はどのように振る舞い、関数等式に必要なように単数であるか？

主な発見

• 任意の $n$ に対して、$GL_n(F)$ のすべての無限可解な既約表現に対して、外部平方 $L$-関数の局所関数等式が完全に確立された。奇数次元の場合 $n=2m+1$ を含む。
• 奇数次元の場合の関数等式は、Bernstein-Zelevinsky の導分と線形周期に基づく完全に局所的な手法により導出され、[9] のグローバル関数等式の形状を確認した。
• Whittaker 型の表現を用いることで、関数等式は非一般表現に対しても拡張され、広範な適用可能性が保証された。
• 本稿は、Kewat と Raghunathan [11] のグローバルおよび局所関数等式における誤りを特定し、そのバージョンが積分形式における準不変性の性質の不一致により誤りであることを示した。
• 正しいグローバル関数等式（[9] に従う）は、両側にユニポテン型の積分が含まれるが、[11] にはそれが欠落しており、この差が彼らの主張する関数等式を無効としている。
• この是正により、本稿で導出された局所関数等式はグローバル理論と整合しており、将来の応用（例えば、$L$-関数および $\gamma$-因子の乗法性の証明、分岐場での理論的応用）に使用可能である。