[論文レビュー] The fundamental groupoid of the quotient of a Hausdorff space by a discontinuous action of a discrete group is the orbit groupoid of the induced action

Ronald Brown, Philip J. Higgins|ArXiv.org|Dec 19, 2002

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、単一の離散群 $ G $ がハウスドルフ空間 $ X $ に非連続に作用し、$ X $ が普遍被覆をもつとき、商空間 $ X/G $ の基本群族が、$ X $ の基本群族に関する群族の軌道群族に同型であることを確立する。この結果は被覆空間論を一般化し、群族作用と軌道構成を用いた商空間の基本群族の計算に有用な道具を提供する。

ABSTRACT

The main result is that the fundamental groupoid of the orbit space of a discontinuous action of a discrete group on a Hausdorff space which admits a universal cover is the orbit groupoid of the fundamental groupoid of the space. We also describe work of Higgins and of Taylor which makes this result usable for calculations. As an example, we compute the fundamental group of the symmetric square of a space. The main result, which is related to work of Armstrong, is due to Brown and Higgins in 1985 and was published in sections 9 and 10 of Chapter 9 of the first author's book on Topology (Ellis Horwood, 1988). This is a somewhat edited, and in one point (on normal closures) corrected, version of those sections. Since the book is out of print, and the result seems not well known, we now advertise it here. It is hoped that this account will also allow wider views of these results, for example in topos theory and descent theory. Because of its provenance, this should be read as a graduate text rather than an article. The Exercises should be regarded as further propositions for which we leave the proofs to the reader. It is expected that this material will be part of a new edition of the book.

研究の動機と目的

• 非連続群作用下での商空間 $ X/G $ の基本群族と、$ X $ の基本群族に関する群族の軌道群族との間の明確な関係を確立すること。
• 古典的被覆空間論を正則被覆からより一般的な群作用へ一般化すること。
• 群族理論と軌道構成を用いて、軌道空間の基本群族を計算する枠組みを提供すること。
• 例えば、空間の対称平方の基本群を計算する応用を通じて、結果の有用性を示すこと。
• かつては入手困難な書籍にのみ記載されていたが、強力な結果を代数的トポロジー、トポス理論、降下理論の研究者に広く利用可能かつ容易に利用可能なものとする。

提案手法

• 空間の基本群族とその群作用による軌道をモデル化するための群族理論の使用。
• $ G $ の作用によって誘導される $ ho $ の商として、軌道群族 $ ilde{ ho} $ を被覆準同型を介して構成すること。
• 特に商準同型およびその性質の特徴づけを含む、群族の被覆準同型の理論の応用。
• 商写像 $ p: X o X/G $ が開写像であり、作用が非連続であることから、軌道空間が良い位相的および群族的性質を備えることを保証すること。
• 普遍被覆の存在を保証するため、$ X $ の単連結被覆空間の構成を支援するため、$ X $ の普遍被覆の利用。
• 特に作用準同型の共等化子としての群族の圏における軌道群族の定義と分析に、押し出しと共等化子の構成を用いること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非連続群作用下での軌道空間 $ X/G $ の基本群族は、元の空間 $ X $ の基本群族とどのように関係するか？
• RQ2 軌道群族の構成は、対称積のような商空間の基本群を計算するために利用可能か？
• RQ3 群族作用の軌道群族が、商空間の基本群族に同型であるための条件は何か？
• RQ4 群族の被覆準同型の理論は、位相空間への非連続群作用を扱えるようにどのように拡張可能か？
• RQ5 この結果は、正則被覆空間からの古典的結果を、ハウスドルフ空間へのより一般的な群作用へどのように一般化するか？

主な発見

• 離散群 $ G $ がハウスドルフ空間 $ X $ に非連続に作用し、$ X $ が普遍被覆をもつとき、商空間 $ X/G $ の基本群族は、$ X $ の基本群族に関する $ G $ の誘導作用による軌道群族に同型である。
• 商写像 $ p: X o X/G $ は開写像であり、これにより軌道空間はホモトピー的解析に適した良好な位相を備える。
• 軌道群族の構成は、群族の圏における作用準同型の共等化子に等しく、結果のカテゴリー的基盤を提供する。
• 対称平方 $ Q^2X $ に対して、対角的点における基本群は、$ ho(X,x) $、すなわち $ X $ の点 $ x $ における基本群のアーベル化に同型である。
• この結果は、$ ho(X,x) $ の部分群によって定まる正則被覆空間へも拡張可能であり、特にユニバーサル被覆のケースを超えて、補題 2.6 を一般化する。
• この理論は有限群に限らず、フクシアン群やクライン群に対しても適用可能であり、複素関数論やトポス理論への応用を支援する。