[論文レビュー] The Fundamental Theorem of Calculus with Gossamer numbers

Chelton D. Evans, William K. Pattinson|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2015

Mathematical and Theoretical Analysis被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、無限小と無限大を含む非アルキメデス的数体系であるゴサマー数（*G*）へ、微積分の基本定理（FTC）を拡張する。無限小区間を用いて不連続関数の連続的表現を構築することで、*G* におけるリーマン和と積分が、端点における原始関数の差としてFTCを満たすことを示し、有限領域と無限領域の統一的取り扱いを可能にする。

ABSTRACT

Within the gossamer numbers which extend the real numbers to include infinitesimals and infinities we prove the Fundamental Theorem of Calculus (FTC). Riemann sums are also considered in the gossamer number system, and their non-uniqueness at infinity. We can represent the sum as a continuous function in the gossamer number system by inserting infinitesimal intervals at the discontinuities, and threading curves between the sums discontinuities. As the FTC is a difference of integrals at the end points, the same is true of sums.

研究の動機と目的

• 無限小と無限大を含むゴサマー数体系 *G* へ、微積分の基本定理（FTC）を拡張すること。
• 無限大におけるリーマン和の非一意性を解消するため、*G* 内で不連続関数を近似する連続曲線を構築すること。
• *G* 内で作業することにより、有限区間と無限区間の取り扱いを統一し、発散積分の特別なケースを回避すること。
• *G* 内での和と積分が、端点における原始関数の差としてFTCを満たすことを示すこと。
• ゴサマー数 *G* 内で無限小の遷移を用いて段階関数（例：ヘヴィサイド関数、素数計数関数）の連続的表現を提供すること。

提案手法

• 無限小の分割幅 $\frac{1}{\nu}$（$\nu \in \mathbb{N}_\infty$）を用いて、*G* 内で一様なリーマン和を定義する。
• 移行原理を用いて、$\mathbb{R}$ 内の不連続関数を、無限小区間における連続曲線に写像する。
• 幅 $2\epsilon$（$\epsilon \in \Phi$）の区間でジャンプ不連続性を線形遷移に置き換えることで、段階関数の連続的近似を構築する。
• 不連続性の下にある面積を、無限小幅の台形領域の和として表現し、標準部においてその総寄与が消えることを示す。
• 定積分を端点における原始関数の値の差として表すことで、*G* 内でFTCを適用する。
• 和の定義を点 $G(a) = \sum^a g_j$ として定義し、*G* 内での連続的積分により $\sum_{k=a}^b g_k = G(b) - G(a)$ を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限小と無限大を含む数体系へ、微積分の基本定理を一般化することは可能か？
• RQ2 ヘヴィサイドのステップ関数のような不連続関数を *G* 内でどのように連続的に表現できるか？
• RQ3 *G* 内で無限大におけるリーマン和の挙動は何か？その非一意性は積分にどのように影響するか？
• RQ4 積分のFTCを、同じ関数的差構造を用いて離散的和へ拡張することは可能か？
• RQ5 実数直線上の不連続関数の下にある面積が、*G* 内の連続的近似によってどのように保存されるか、どのような条件が必要か？

主な発見

• 微積分の基本定理は *G* 内で $\int_a^b f(x)\,dx = \int^b f(x)\,dx - \int^a f(x)\,dx$ として成り立つ。原始関数は上端の関数として定義される。
• リーマン和は *G* 内で積分と漸近的に同値である：$\int_0^\nu f(\frac{x}{\nu})\,dx \sim \sum_{j=1}^\nu f(\frac{j}{\nu})\frac{1}{\nu}$（$\nu = \infty$ のとき）。
• $\mathbb{R}$ 内の不連続関数は、無限小区間において *G* 内で連続的に表現可能であり、不連続性の面積は標準部において消える：$\sum_{k=0}^{w-1} a_k \in \Phi$。
• 実数直線上の区分的連続関数の下にある面積は、*G* 内の連続的近似によって保存され、$A' \simeq A$（$A'$ は *G* 内の面積）となる。
• 和は *G* 内で $\sum_{k=a}^b g_k = \sum^b g_k - \sum^a g_k$ を満たし、和の定義が点関数として定義される。
• 有限個の不連続点を持つ任意の関数について、標準部で元の関数と一致する微分可能な連続曲線を *G* 内で構築可能である。