[論文レビュー] The Fundamental Theorem of Utility Maximization and Num\'eraire Portfolio

Tahir Choulli, Jun Deng+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 26被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、連続時間市場における効用最大化の基本定理（FTUM）を再定式化し、非アービトラージ条件を緩和するとともに、同等確率測度下での効用最大化を拡張する。無限大の利益を得る可能性が限定的である条件（No-Unbounded-Profit-with-Bounded-Risk）、基準資産ポートフォリオの存在、および効用最大化の可解性の間の同値性を確立し、不完全市場における市場の健全性を強固で技術的に洗練された枠組みで提示する。

ABSTRACT

The fundamental theorem of utility maximization (called FTUM hereafter) says that the utility maximization admits solution if and only if there exists an equivalent martingale measure. This theorem is true for discrete market models (where the number of scenarios is finite), and remains valid for general discrete-time market models when the utility is smooth enough. However, this theorem --in this current formulation-- fails in continuous-time framework even with nice utility function, where there might exist arbitrage opportunities and optimal portfolio. This paper addresses the question how far we can weaken the non-arbitrage condition as well as the utility maximization problem to preserve their complete and strong relationship described by the FTUM. As application of our version of the FTUM, we establish equivalence between the No-Unbounded-Profit-with-Bounded-Risk condition, the existence of num\'eraire portfolio, and the existence of solution to the utility maximization under equivalent probability measure. The latter fact can be interpreted as a sort of weak form of market's viability, while this equivalence is established with a much less technical approach. Furthermore, the obtained equivalent probability can be chosen as close to the real-world probability measure as we want (but might not be equal).

研究の動機と目的

• 滑らかな効用関数のもとでも古典的FTUMが連続時間モデルで失敗する問題に対処すること。
• 非アービトラージ条件を緩和しつつ、効用最大化と同等マルティングルール測度の間の強い関係を維持すること。
• 最小限の技術的仮定で成立する、連続時間設定に適したより一般的なFTUMの新バージョンを確立すること。
• 無限大の利益を得る可能性が限定的である条件、基準資産ポートフォリオの存在、および同等確率測度下での効用最大化の可解性の間の同値性を示すこと。
• 効用最大化に用いる同等確率測度を現実世界測度に限りなく近づけることができることを示すこと（ただし、必ずしも同一ではない）。

提案手法

• 標準的な非アービトラージよりも弱い一般化された非アービトラージ条件を導入し、連続時間モデルと整合性を持つ。
• 解の存在を保証するために、測度変換を用いた効用最大化問題の変換を適用する。
• 市場の健全性と効用最大化を結ぶ中心的ツールとして、基準資産ポートフォリオの概念を用いる。
• 現実世界測度に限りなく近い同等確率測度を用いることができ、実用的意義を高める。
• 確率過程とマルティングルール理論に依拠するが、先行研究と比較して技術的複雑性を低減している。
• 三つの主要な金融的条件の同値性を確立する：無限大の利益を得る可能性が限定的である条件、基準資産ポートフォリオの存在、および効用最大化の可解性。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的FTUMは、標準的定式化のもとで失敗する連続時間市場に拡張可能か？
• RQ2 連続時間において、効用最大化と同等マルティングルール測度の双対性を維持する弱い非アービトラージ条件は何か？
• RQ3 基準資産ポートフォリオの存在は、同等測度下での効用最大化の可解性とどのように関係するか？
• RQ4 効用最大化に用いる同等確率測度を、現実世界測度にどの程度まで近づけられるか？
• RQ5 基準資産ポートフォリオフレームワークを用いることで、市場の健全性の証明を技術的に簡素化できるか？

主な発見

• 非アービトラージ条件を「無限大の利益を得る可能性が限定的である条件」に緩和した場合、一般化されたFTUMは連続時間モデルで成立する。
• 基準資産ポートフォリオの存在は、同等確率測度下での効用最大化問題の可解性と同値である。
• 解に用いる同等確率測度を現実世界確率測度に限りなく近づけることができるが、必ずしも同一ではない。
• 「無限大の利益を得る可能性が限定的である条件」、「基準資産ポートフォリオの存在」、および「効用最大化の可解性」の三つの核心的条件の同値性は、最小限の技術的仮定のもとで成立する。
• 提示された枠組みは、数学的に整合的でかつ実務的に解釈可能な弱い形の市場健全性を提供する。
• 証明アプローチは、先行手法と比較して著しく技術的複雑性が低く、アクセス性と応用可能性が向上している。