[論文レビュー] The further chameleon groups of Richard Thompson and Graham Higman: Automorphisms via dynamics for the Higman groups $G_{n,r}$

Collin Bleak, Peter J‎. Cameron+3 more|arXiv (Cornell University)|May 30, 2016

semigroups and automata theory参考文献 10被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、ルービンの定理およびトランスダーサーの有理群論を用いて、Higman-Thompson群 $G_{n,r}$ の自己同型群を、Cantor空間 $τ_{n,r}$ 上のホメオモルフィズム群として特徴づける。主な結果として、$Δ\text{Aut}(G_{n,r})$ が正確に二重同期化トランスダーサー（同じ条件下で同期的かつ可逆である有限状態機械）によって誘導されるホメオモルフィズムの群として特定され、20年以上にわたる「カメレオン」群の残りの1つ、$V = G_{2,1}$ の自己同型の分類を完了する。

ABSTRACT

We describe, through the use of Rubin's theorem, the automorphism groups of the Higman-Thompson groups $G_{n,r}$ as groups of specific homeomorphisms of Cantor spaces $\mathfrak{C}_{n,r}$. This continues a thread of research begun by Brin, and extended later by Brin and Guzmán: to characterise the automorphism groups of the `Chameleon groups of Richard Thompson,' as Brin referred to them in 1996. The work here completes the first stage of that twenty-year-old program, containing (amongst other things) a characterisation of the automorphism group of $V$, which was the `last chameleon.' The homeomorphisms which arise fit naturally into the framework of Grigorchuk, Nekrashevich, and Suschanskii's rational group $\mathscr{R}$: they are exactly those homeomorphisms which are induced by bi-sychronizing transducers, which we define in the paper. This result appears to offer insight into the nature of Brin and Guzman's exotic automorphisms, while also uncovering connections with the theory of reset words for automata (arising in the Road Colouring Problem) and with the theory of automorphism groups of the full shift.

研究の動機と目的

• Higman-Thompson群 $G_{n,r}$ の自己同型群の分類を完了すること、特に $V = G_{2,1}$ についてはBrinの1996年の研究以降未解決のままであったこと。
• Thompson族における最後の「カメレオン」群である $V$ の自己同型群を特徴づける長年の未解決問題を解消すること。
• 有限状態トランスダーサーとそれらがCantor空間に作用する方法を用いて、自己同型の動的特徴づけを確立すること。
• Exoticな自己同型の理論を $G_{n,r}$ において、オートマトン理論におけるリセット語およびフルシフトの自己同型群と結びつけること。
• 自己同型群 $Δ\text{Aut}(G_{n,r})$ が、$Σ_{n,r}$ 内の二重同期化トランスダーサーによって誘導されるホメオモルフィズムの群に正確に一致することを示すこと。

提案手法

• 群の空間への作用を活用して、ルービンの定理を適用し、$Δ\text{Aut}(G_{n,r})$ をCantor空間 $τ_{n,r}$ のホメオモルフィズム群の部分群として特定する。
• 有限個の局所作用を持つという性質を特徴づけ、それが有限状態トランスダーサーによる表現を保証することを示す。
• 二重同期化トランスダーサー（同期的であり、かつその逆も同期的であるトランスダーサー）の概念を導入・分析し、それが $G_{n,r}$ の自己同型を正確に誘導することを証明する。
• Grigorchuk, Nekrashevych, および Suschanskǐ が開発した有理群 $Σ_{n,r}$ の枠組みを用いて、自己同型群を埋め込み・分類する。
• $G_{n,r}$ の任意の自己同型が二重同期化トランスダーサーから生じること、および逆に、任意のこのようなトランスダーサーが自己同型を誘導することを証明する。
• 画像集合および単射性に関する組合せ論的・位相的制約を用いて、自己同型群 $Δ\text{Aut}(G_{n,r})$ が、二重同期化トランスダーサーからなる $Σ_{n,r}$ の部分群と同型であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Higman-Thompson群 $G_{n,r}$ に対して、特に $V = G_{2,1}$ に対して、自己同型群 $Δ\text{Aut}(G_{n,r})$ の正確な構造は何か？
• RQ2 $G_{n,r}$ の自己同型は、Cantor空間 $τ_{n,r}$ における作用を用いて、どのように動的に特徴づけられるか？
• RQ3 トランスダーサー、特に二重同期化トランスダーサーは、$G_{n,r}$ の自己同型を実現するために果たす役割は何か？
• RQ4 固定された $n$ に対して、$r$ の変化に伴い、$Δ\text{Aut}(G_{n,r})$ の自己同型群はどのように依存するか？異なる $r$ に対して同型であるか？
• RQ5 $G_{n,r}$ の自己同型とオートマトン理論におけるリセット語、特にRoad Colouring Problemの文脈における関係は何か？

主な発見

• $Δ\text{Aut}(G_{n,r})$ は、有理群 $Σ_{n,r}$ 内の二重同期化トランスダーサーからなる部分群と同型である。
• $G_{n,r}$ のすべての自己同型は、強く同期的であり、かつその逆も強く同期的な有限状態トランスダーサーによって誘導される。
• $Δ\text{Aut}(G_{n,r})$ は、Cantor空間 $τ_{n,r}$ のホメオモルフィズム群の部分群として作用し、共通の無限後ろ向き接尾辞を持つ同値類を固定するという性質を持つ。
• 本稿では、特定の画像および画像集合の性質を持つトランスダーサーの完成が、$r \equiv 0 \mod 3$ である必要があることを証明しており、特に $Σ_{4,1}$ および $Σ_{4,2}$ は $Σ_{4,3}$ に真に埋め込まれており、$r$ が異なる場合に同型でない型の自己同型群が存在することを示唆している。
• $n > 2$ に対してExoticな自己同型が存在することは、二重同期化トランスダーサーのダイナミクスによって説明され、リセット語およびフルシフト理論と結びつけられる。
• 任意の二重同期化トランスダーサーの逆は、再帰的な画像分解と状態遷移規則を用いた組合せ論的構成により構成可能であり、有理群の枠組み内で単射性が保証される。