[論文レビュー] The fuzzy space construction kit

Andreas Sykora|arXiv (Cornell University)|Oct 3, 2016

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 6被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、3つのエルミート行列によって定義される行列代数を生成するために、有向グラフを用いたファジー空間の体系的構成キットを導入する。非分岐グラフを既知のファジー表面（例えば、球面、トーラス）にマッピングし、分岐グラフを高 genus 表面（例えば、genus 2 以上）にマッピングすることで、ディラック作用素のゼロモード多様体を介して、任意のトポロジカル genus を持つファジー空間の明示的実現が可能となる。これは、対称的でないケースを含む非可換幾何学の一般枠組みを提供する。

ABSTRACT

Fuzzy spaces like the fuzzy sphere or the fuzzy torus have received remarkable attention, since they appeared as objects in string theory. Although there are many higher dimensional examples, the most known and most studied fuzzy spaces are realized as matrix algebras defined by three Hermitian matrices, which may be seen as fuzzy membranes or fuzzy surfaces. We give a mapping between directed graphs and matrix algebras defined by three Hermitian matrices and show that the matrix algebras of known two-dimensional fuzzy spaces are associated with unbranched graphs. By including branchings into the graphs we find matrix algebras that represent fuzzy spaces associated with surfaces having genus 2 and higher.

研究の動機と目的

• 任意のトポロジカル genus を持つファジー空間を行列代数を用いて一般化して構築するための手法を開発すること。
• 既知のファジー空間（例えば、ファジー球面、トーラス）を、対称的でない、共軛軌道に基づく例を越えて拡張すること。
• 有向グラフを3つのN×Nエルミート行列X, Y, Zにマッピングし、ディラック作用素のゼロモード多様体がファジー空間の古典的表面に対応するようにすること。
• ディラック作用素のゼロ固有値から導かれるコherent状態を用いて、非対称的および高 genus ファジー空間の研究を可能にすること。
• 非可換幾何学における複雑なトポロジーを有するゲージ理論や量子重力の探求の基盤を提供すること。

提案手法

• Nノードの有向グラフを、行列構造がグラフの接続性を符号化する3つのN×Nエルミート行列X, Y, Zにマッピングする。
• X, Y, Zから構成されるディラック作用素の行列式を多項式として用い、その零点集合がコherent状態多様体（すなわち、ファジー空間の古典的表面）を定義する。
• Z行列を対角化して座標軸を定義し、その後でXおよびY行列をグラフの辺の重みとノード接続性から構築する。
• 行列式の多項式的性質に依存して、明示的に解かずにディラック作用素のゼロ固有値からコherent状態を同定する。
• 対称的および非対称的ファジー8の構成を一般化し、構造的な行列パターンを用いてgenus Mのファジー空間を生成する。
• SageMathを用いた計算的可視化により、行列式多項式から得られるゼロモード表面をプロットすることで結果を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有向グラフを、任意のトポロジカル genus を持つファジー空間を実現する行列代数に体系的にマッピングすることは可能か？
• RQ2 高 genus ファジー表面（genus ≥ 2）は、行列代数を用いて明示的に構築可能か？
• RQ3 3つのエルミート行列から導かれるディラック作用素のゼロモード多様体を用いて、コherent状態を明示的に解かずにファジー空間の古典的極限を定義できるか？
• RQ4 グラフの構造的特徴（例えば、分岐、ループ）は、得られるファジー空間におけるトポロジカル不変量（genus）に対応するか？
• RQ5 この構成は、ゲージ理論をサポートし、非可換幾何学における発現的重力や標準模型とどのように関連づけられるか？

主な発見

• 分岐グラフは、genus 2以上を有するファジー空間のゼロモード多様体を生じさせ、非分岐グラフのgenus 0および1のケースを超える。
• 対称的および非対称的ファジー8の構成は、3M+1および2M+1次元の構造的行列パターンを用いて、genus Mのファジー空間に一般化される。
• ディラック作用素の行列式は、コherent状態の表面を定義する多項式を提供し、可視化およびトポロジカル分類を可能にする。
• genus Mのファジー空間においては、行列パラメータx₀およびz₀を1の周辺に選ぶ必要があり、ゼロモード表面の穴の閉じ込みや成分の分離を防ぐ。
• この構成はユニタリ共役変換の対称性と整合しており、これによりグラフのノードおよびエッジにU(1)格子ゲージ変換が誘導される。
• SageMathを用いた計算による、高 genus ファジー表面の生成が可能であり、可視化のための明示的なコードが提供されている。