[論文レビュー] The $G$-stable pieces of the wonderful compactification

Xuhua He|ArXiv.org|Dec 15, 2004

Advanced Algebra and Geometry参考文献 6被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、半単純代数群 $G$ のワonderfulコンパクト化 $\bar{G}$ における $G$-安定な部分多様体の閉包性質および細分構造を研究する。$G$-安定な部分多様体の閉包が有限個の $G$-軌道しか含まないならば、その閉包は細分構造をもつことが示され、$\bar{G}$ 上のパラボリック特徴的層に対するカジダン–ルスティッグ理論の構築に基礎的段階を提供する。

ABSTRACT

Let $G$ be a connected, simple algebraic group over an algebraically closed field. There is a partition of the wonderful compactification $\bar{G}$ of $G$ into finite many $G$-stable pieces, which were introduced by Lusztig. In this paper, we will investigate the closure of any $G$-stable piece in $\bar{G}$. We will show that the closure is a disjoint union of some $G$-stable pieces, which was first conjectured by Lusztig. We will also prove the existence of cellular decomposition if the closure contains finitely many $G$-orbits.

研究の動機と目的

• 半単純代数群 $G$ のワonderfulコンパクト化 $\bar{G}$ における $G$-安定な部分多様体の閉包構造を理解すること。
• ある $G$-安定な部分多様体の閉包が細分構造をもつための条件を確立すること。
• $\bar{G}$ 上のパラボリック特徴的層に対するカジダン–ルスティッグ理論を構築するための幾何的枠組みを提供すること。
• $B \times B$-軌道の閉包に関する結果を、インデックス集合 $(J,w)$ における部分順序を用いて $G$-安定な部分多様体へ一般化すること。

提案手法

• ルスティグが導入した $G$-安定な部分多様体の分解を用い、$J \subset I$、$w \in W^J$ でそのコセット内での最小長さを満たすペア $(J,w)$ でインデックスされる。
• $\delta(I_2)$ 内の反転列を用いて定義される、集合 $W_\delta(J,w)$ 上の部分順序 $\leqslant^\prime$ を導入し、閉包関係を記述する。
• 「ファイバーを通したコンパクト化」の技法を用いて、閉包の幾何構造を分析し、細分構造を構成する。
• スプリンガーの結果（特定の $B \times B$-軌道の和集合がアフィン空間に同型であること）を、$G$-安定な部分多様体へ拡張する。
• $G \times G$ の作用を $\tilde{Z}_{J,y,\delta}$ に用い、$\mathcal{B}$ 上にアフィン空間のファイバーを持つ $G$-多様体 $X^{(J,w,\delta)}_u$ を構成する。
• $I_2 = \varnothing$ のとき、多様体 $X^{(J,w,\delta)}_u$ は $\mathcal{B}$ 上のベクトル束に同型であり、したがって細分構造をもつことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ワonderfulコンパクト化 $\bar{G}$ 内の $G$-安定な部分多様体の閉包が、どのような条件下で細分構造をもつのか。
• RQ2 $G$-安定な部分多様体の閉包は他の $G$-安定な部分多様体とどのように関係し、その関係を支配する部分順序は何か。
• RQ3 $G$-安定な部分多様体の幾何構造を用いて、$\bar{G}$ 上のパラボリック特徴的層に対するカジダン–ルスティッグ理論を構築できるか。
• RQ4 再帰的群 $\hat{G}$ の非連結成分 $G^1$ は、$G$ から $\hat{G}$ への結果の一般化において、どのような役割を果たすか。

主な発見

• 任意の $G$-安定な部分多様体の閉包は、他の $G$-安定な部分多様体の和集合であり、包含関係はインデックス集合 $(J,w)$ における部分順序によって支配される。
• ある $G$-安定な部分多様体の閉包が有限個の $G$-軌道しか含まないならば、その閉包は細分構造をもつ。
• $I_2 = \varnothing$ のとき、$X^{(J,w,\delta)}_u$ は $\mathcal{B}$ 上のベクトル束に同型であり、したがって細分構造をもつ。
• 部分順序 $\leqslant^\prime$ は、閉包が有限個の軌道をもつ場合に、well-defined な部分順序となり、分解が $\alpha$-分割であることを保証する。
• 結果は、非連結な再帰的群 $\hat{G}$ の任意の連結成分 $G^1$ にまで拡張可能であり、これは $G$-ケースの「ねじれ」版である。
• $\overline{Z^w_{J,\delta}}$ は、$\sqcup_{u \in W_\delta(J,w)} X^{(J,w,\delta)}_u$ として直和分解され、軌道数が有限のときこの分解は細分的である。