[論文レビュー] The Galois module structure of l-adic realizations of Picard 1-motives and applications

Cornélius Greither, Cristian D. Popescu|arXiv (Cornell University)|May 5, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、代数閉体上の滑らかで射影的な曲線のG-Galois被覆に関連するPicard 1モチーフのℓ-adic実現が、G-コhomologically自明であることを確立し、したがってℤℓ[G]-射影的であることを示す。新たなコホモロジー自明性結果を証明し、それにより有限体上の算術的設定においてFittingイデアルの等式を示し、Brumer-StarkおよびCoates-Sinnottの古典的予想を精緻化する。

ABSTRACT

We show that the l-adic realizations of certain Picard 1-motives associated to a G-Galois cover of smooth, projective curves defined over an algebraically closed field are G-cohomologically trivial, for all primes l. In the process, we generalize a well-known theorem of Nakajima on the Galois module structure of certain spaces of Kahler differentials associated to the top curve of the cover, assuming that the field of definition is of characteristic p. If the cover and the Picard 1-motive are defined over a finite field and if G is abelian, we compute the first Fitting ideal of each l-adic realization over a certain profinite l-adic group algebra in terms of an equivariant Artin L-function. This is a refinement of earlier work of Deligne and Tate on Picard 1-motives associated to global function fields. As a consequence, we prove refined versions of the Brumer-Stark and the (étale) Coates-Sinnott Conjectures for global function fields. In upcoming work, we use these results to prove several other conjectures on special values of global L-functions in characteristic p. Also, we prove analogous results in characteristic 0, where the l-adic realizations of Picard 1-motives will be replaced by a new class of Iwasawa modules.

研究の動機と目的

• 曲線のG-Galois被覆に関連するPicard 1モチーフのℓ-adic実現のGaloisモジュール構造を特定すること。
• Cartier作用素の下での微分形式の半単純部のGaloisモジュール構造に関する中島の定理の新たな証明を提供すること。
• 有限体上の算術的設定においてFittingイデアルの等式を確立し、ℓ-adic実現とG-等変L関数を結びつけること。
• Brumer-StarkおよびCoates-Sinnottを含む、グローバルL関数の特別値に関する古典的予想を精緻化すること。

提案手法

• Picard 1モチーフのn-torsion点の新しい解釈を用いて、そのGaloisモジュール構造を分析する。
• ℓ-群の場合、ℓ-torsionモジュールが自由であり、商曲線の種数とHasse-Witt不変量を用いてそのランクを計算すること。
• Cartier作用素の核と所定の極を持つ微分形式の空間との間の自然な同型を確立すること。
• ℓ-adic実現のコホモロジー自明性を活用し、FittingイデアルとG-等変L関数の特別値を関連付けること。
• Deligne, Tate, Berthelot, Bloch, Illusieの結果を応用し、エタールおよびクリスタリンコホモロジーとモジュール構造を結びつけること。
• Frobenius準同型を位相的生成元として用いてL関数を定義し、それをIwasawa代数におけるFittingイデアルと関連付けること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Picard 1モチーフのℓ-adic実現がG-モジュールとしてコホモロジー的に自明であるのはどのような条件下か？
• RQ2 Picard 1モチーフのℓ-torsionのGaloisモジュール構造は、商曲線の種数とHasse-Witt不変量とどのように関係するか？
• RQ3 微分形式におけるCartier作用素の作用に関する中島の定理は、Picard 1モチーフの構造から導けるか？
• RQ4 有限体上の算術的設定において、ℓ-adic実現のFittingイデアルとG-等変L関数の正確な関係は何か？
• RQ5 これらの結果は、古典的Brumer-StarkおよびCoates-Sinnottの予想をどのように精緻化するか？

主な発見

• すべての素数ℓに対して、Picard 1モチーフのℓ-adic実現$ T_{\rho}\left(\rho_{\rho,\rho}\right) $は$ G $-コホモロジー的に自明であり、したがって$ \mathbb{Z}_{\ell}[G] $-射影的で、有限ランクをもつ。
• Gがℓ-群であるとき、ℓ-torsionモジュール$ \mathcal{M}_{\mathcal{S},\mathcal{T}}[\ell] $は$ \mathbb{F}_{\ell}[G] $上で自由であり、ランクは$ \gamma_{Z'} - 1 + |\mathcal{S}'| $である。ここで$ \gamma_{Z'} $は$ Z' $の種数を表す。
• $ \ell = \text{char}(\kappa) = p $の場合、ランクは$ Z' $のHasse-Witt不変量によって与えられ、この結果は中島の定理を特別な場合として回復する。
• Iwasawa代数$ \mathbb{Z}_{\ell}[[\overline{G}]] $上でのℓ-adic実現$ T_{\ell}(M_{\mathcal{S},\mathcal{T}}) $のFittingイデアルは、$ \Theta_{\mathcal{S},\mathcal{T}}(\gamma^{-1}) $によって生成されるイデアルに等しい。ここで$ \gamma $はFrobenius準同型である。
• $ \ell $がすべての素数に対して、等式$ (\Theta_{\mathcal{S},\mathcal{T}}(\gamma^{-1})) = \text{Fit}_{\mathbb{Z}_{\ell}[[\overline{G}]]}(T_{\ell}(M_{\mathcal{S},\mathcal{T}})) $が成り立ち、DeligneとTateのℓ-adic実現に関する結果を精緻化する。
• これらの結果は、特殊値$ \Theta_{\mathcal{S},\mathcal{T}}(u) $と理想類群の不変量、およびエタールコホモロジー群を結びつけることで、Brumer-StarkおよびCoates-Sinnottの古典的予想のGalois-equivariantな精緻化を提供する。