[論文レビュー] The Galoisian envelope of a germ of foliation: the quasi-homogeneous case

Emmanuel Paul|ArXiv.org|Dec 11, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$∞^2$ 内の余次元1の準同次foliationのgermに対して、適切なガロア閉包（ガロアエンvelope）の存在に関する幾何学的およびアルゴリズム的条件を確立する。相対的ホロノミー群と形式的正規形を分析することで、ガロア可約性が有限長のゴッドビルン＝ヴェイ系列（最大3形式）の存在と同値であることを証明し、これをミルナー・ファイバーのモノドロミーと結びつける。主な結果として、ベクトル場の正規化を用いたアーベル的ホロノミー群の実現定理が得られる。

ABSTRACT

We give geometric and algorithmic criterions in order to have of a proper Galois closure for a codimension one germ of quasi-homogeneous foliation. We recall this notion recently introduced by B. Malgrange, and describe the Galois envelope of a group of germs of analytic diffeomorphisms. The geometric criterions are obtained from transverse analytic invariants, whereas the algorithmic ones make use of formal normal forms.

研究の動機と目的

• 余次元1の準同次foliationのgermに対して、適切なガロア閉包（ガロアエンvelope）が存在するための必要十分条件を特定すること。
• このようなfoliationのガロア可約性が、meromorphic 1形式の有限長ゴッドビルン＝ヴェイ系列の存在とどのように関係するかを明らかにすること。
• 準同次特異点の文脈において、幾何的不変量（相対的ホロノミー群）とアルゴリズム的不変量（形式的正規形）の間の明確な関係を確立すること。
• 任意の例外的でない $ \mathrm{Diff}_1(\mathbb{C},0)$ のアーベル部分群が、ある準同次foliationの相対的ホロノミー群として実現可能である、という実現定理を確立すること。
• 特に形式的正規形と和分可能性の文脈において、余次元1の状況を超えてガロア理論的アプローチを統合可能性に拡張する基盤を築くこと。

提案手法

• 本稿は、準同次ベクトル場 $X_h$ のdesingularizationを用いて、特異的除法の構造とミルナー・ファイバー上のfoliationの振る舞いを分析する。
• foliationの相対的ホロノミー群は、ミルナー・ファイバー上のモノドロミー作用として定義され、これはアーベル的であり、閉じた1形式 $\eta_c$ の周期によって特徴づけられることが示される。
• 正規形は、$X = \alpha X_h + \left(\sum c_i f_i\right) \delta(h) R$ の形のベクトル場を用いて構成される。ここで $f_i$ は正則関数、$R$ は準同次Eulerベクトル場である。
• アルゴリズム的不変量 $\mathcal{L}(\mathcal{F})$ は、正規形における係数 $c_i$ から導かれる。その次元は、ガロアエンvelopeの横断的ランクに一致する。
• ホロノミーの周期 $T_i$ と係数 $c_i$ 間の関係は、$T = M \cdot C$ の行列方程式に符号化され、ここで $M$ はコhomology基底の周期行列である。
• 本稿は、ガロアエンvelopeが適切（すなわち、foliationがガロア可約）であるための必要十分条件として、相対的ホロノミー群がアーベル的であり、かつ周期 $T_i$ が有理数的に関係していること、すなわち、長さ3までの有限ゴッドビルン＝ヴェイ系列の存在に相当することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 準同次余次元1foliationのガロアエンvelopeが適切（すなわち、全自己同型群の族より真に小さい）であるための、幾何的および代数的条件は何か？
• RQ2 長さ3までの有限長ゴッドビルン＝ヴェイ系列（の存在）は、foliationのガロア可約性とどのように関係するか？
• RQ3 foliationの相対的ホロノミー群とそのベクトル場の形式的正規形との間の明確な関係は何か？
• RQ4 任意の例外的でない $ \mathrm{Diff}_1(\mathbb{C},0)$ のアーベル部分群は、ある準同次foliationの相対的ホロノミー群として実現可能か？
• RQ5 最終正規形の $k$-和分可能性の幾何的意味は何か？また、ガロア閉包とどのように関係するか？

主な発見

• 余次元1の準同次foliationのガロアエンvelopeが適切であるための必要十分条件は、相対的ホロノミー群がアーベル的であり、関連する1形式 $\eta_c$ の周期が有理数的に関係していることである。
• 長さ3までの有限ゴッドビルン＝ヴェイ系列の存在は、ガロア可約性と同値であり、ガロアエンvelopeの横断的ランクは、そのような系列の最小長に等しい。
• 実現定理が証明された：任意の例外的でないアーベル部分群 $H \subset \mathrm{Diff}_1(\mathbb{C},0)$ に対して、正規形における係数 $c_i$ の適切な選択により、$H$ を相対的ホロノミー群とする準同次foliationが存在する。
• 各成分 $m_{i,j} = \int_{\Gamma_i} \eta_j$ を持つ行列 $M = (m_{i,j})$ は正則であり、これにより周期 $T_i$ から係数 $c_i$ を一意に解ける。これにより、ホロノミー情報と正規形パラメータの間の1対1対応が確立される。
• ガロアエンvelopeが自明（すなわち、全自己同型群の族）であるための必要十分条件は、相対的ホロノミー群が非アーベル的であるか、周期が非可換であることであり、これは非可約性を示唆する。
• 本稿は、アルゴリズム的不変量 $\mathcal{L}(\mathcal{F})$ が1次元であることと、foliationがリウヴィル的であることとが同値であることを確立した。これにより、ガロア理論的統合可能性の概念が、特定の超越的拡大体における第一積分の存在と結びつく。