[論文レビュー] The Gamma-limit of the two-dimensional Ohta-Kawasaki energy. II. Droplet arrangement at the sharp interface level via the renormalized energy

Dorian Goldman, Cyrill B. Muratov+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2012

Block Copolymer Self-Assembly参考文献 29被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、少量相の体積分率が0に近づく鋭い界面状態における2次元Ohta-Kawasakiエネルギーの次なる順序Γ極限を導出する。Sandier-Serfatyの抽象的Γ収束枠組みと多パラメータエルゴード定理を用いて、ドロップレット配置を支配する主要な相互作用エネルギーとして再正規化エネルギーを同定し、極限において三角格子配置がエネルギーを最小化することを予測する。

ABSTRACT

This is the second in a series of papers in which we derive a $Γ$-expansion for the two-dimensional non-local Ginzburg-Landau energy with Coulomb repulsion known as the Ohta-Kawasaki model in connection with diblock copolymer systems. In this model, two phases appear, which interact via a nonlocal Coulomb type energy. Here we focus on the sharp interface version of this energy in the regime where one of the phases has very small volume fraction, thus creating small "droplets" of the minority phase in a "sea" of the majority phase. In our previous paper, we computed the $Γ$-limit of the leading order energy, which yields the averaged behavior for almost minimizers, namely that the density of droplets should be uniform. Here we go to the next order and derive a next order $Γ$-limit energy, which is exactly the Coulombian renormalized energy obtained by Sandier and Serfaty as a limiting interaction energy for vortices in the magnetic Ginzburg-Landau model. The derivation is based on the abstract scheme of Sandier-Serfaty that serves to obtain lower bounds for 2-scale energies and express them through some probabilities on patterns via the multiparameter ergodic theorem. Without thus appealing to the Euler-Lagrange equation, we establish for all configurations which have "almost minimal energy" the asymptotic roundness and radius of the droplets, and the fact that they asymptotically shrink to points whose arrangement minimizes the renormalized energy in some averaged sense. Via a kind of $Γ$-equivalence, the obtained results also yield an expansion of the minimal energy for the original Ohta-Kawasaki energy. This leads to expecting to see triangular lattices of droplets as energy minimizers.

研究の動機と目的

• 少量相の体積分率が0に近づく鋭い界面状態におけるOhta-Kawasakiエネルギーの次なる順序Γ極限を導出すること。
• 均一な密度を超えたドロップレット配置の漸近的性質を、それらの相互作用に焦点を当てて特徴づけること。
• 従来のゲンツブルク＝ランダウ模型におけるビスマールク系で得られた再正規化エネルギーが、本モデルにおけるドロップレットの有効相互作用エネルギーとして出現することを確立すること。
• 近似的に最小化する配置が、漸近的に円形のドロップレットを示し、それらが点に収縮することを示し、その位置が再正規化エネルギーを最小化することを証明すること。
• Γ同値性を用いて、元のOhta-Kawasakiエネルギーの完全なΓ展開を獲得し、最小化解のエネルギー漸近挙動を導出すること。

提案手法

• SandierとSerfatyの抽象的Γ収束枠組みを、Ohta-Kawasaki汎関数から生じる2スケールエネルギーに適用する。
• 多パラメータエルゴード定理を用いて、ドロップレット配置の局所的パターンに関する確率論的表現で下界を表現する。
• 近似的に最小化する配置において、ドロップレットが漸近的に円形であり、半径ρεを有し、半径がln(rε′/ρε) = oε(1)を満たすことを確立する。
• スクリーンドポisson方程式の周期的解を用いた再正規化エネルギー最小化解の周期的近似を用いて、テスト関数を構成する。
• ハーン＝バナッハの拡張定理と楕円型正則性理論を用いて、極限エネルギーにおける二重積分項を分布的畳み込みとして厳密に定義する。
• Γ同値性を用いて下界と上界を統合し、元のエネルギー汎関数の完全なΓ展開を獲得する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一様なドロップレット密度が予測する一次のΓ極限を超えた、Ohta-Kawasakiエネルギーの次なる順序漸近挙動は何か？
• RQ2 体積分率が0に近づく鋭い界面極限においてドロップレットどうしがどのように相互作用し、空間的配置はどのように支配されるか？
• RQ3 ゲンツブルク＝ランダウ模型におけるビスマールク系で得られた再正規化エネルギーが、Ohta-Kawasakiモデルにおけるドロップレットの有効相互作用エネルギーとして出現可能か？
• RQ4 近似的に最小化する配置は、漸近的に円形であり、点に収縮するか？ その配置は再正規化エネルギーの最小化によって支配されるか？
• RQ5 少量相分率が小さい状態における、元のOhta-Kawasakiエネルギーの最小エネルギーの正確な漸近的展開は何か？

主な発見

• Ohta-Kawasakiエネルギーの次なる順序Γ極限は再正規化エネルギーとして同定され、鋭い界面極限におけるドロップレット相互作用を支配する。
• 近似的に最小化する配置では、ドロップレットが漸近的に円形であり、半径ρεがln(rε′/ρε) = oε(1)を満たす。これは、適切なスケールで点に収縮することを意味する。
• ドロップレットの中心は弱い平均的意味で再正規化エネルギーを最小化する。これは、秩序ある配置への傾向を示唆する。
• 元のOhta-Kawasaki汎関数の最小エネルギーは、再正規化エネルギーを含む主要項と、(barδ - barδc)に比例する低次の補正項を含むΓ展開を有する。
• エネルギー漸近挙動は、極限においてドロップレットの三角格子配置が最小化解であると予測する。これは再正規化エネルギーが格子上での最小化を示すのと整合する。
• Euler-Lagrange方程式を用いずに、多パラメータエルゴード定理を介した確率的・変分的技法に依拠して、結果が確立されている。