[論文レビュー] The $\gamma$-Vectors of Pascal-like Triangles Defined by Riordan Arrays

Paul Barry|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2018

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 6被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、通常および指数型リオーダン配列によって定義されるパスカル型の三角形に対してγ行列を導入・特徴づけ、これらのγ行列が伸びたリオーダン配列によって生成され、ジャコビ連分数および二項変換を通じて一般化ナラヤナ数と関連していることを示している。主な貢献は、元の三角形の要素hn,kを用いたγn,kの閉形式式の確立であり、これは古典的なγベクトル概念を広範な組合せ的三角形のクラスへと拡張するものである。

ABSTRACT

We define and characterize the $\gamma$-matrix associated to Pascal-like matrices that are defined by ordinary and exponential Riordan arrays. We also define and characterize the $\gamma$-matrix of the reversions of these triangles, in the case of ordinary Riordan arrays. We are led to the $\gamma$-matrices of a one-parameter family of generalized Narayana triangles. Thus these matrices generalize the matrix of $\gamma$-vectors of the associahedron. The principal tools used are the bivariate generating functions of the triangles and Jacobi continued fractions.

研究の動機と目的

• 通常および指数型リオーダン配列によって生成されるパスカル型行列に関連するγ行列を定義し、特徴づける。
• アソシアヘドロンからの古典的γベクトル概念を、より広い組合せ的三角形のクラスへと拡張する。
• このような三角形の逆行列のγ行列を特に通常リオーダン配列の場合に考察する。
• 元の三角形の要素hn,kを用いてγn,kの明示的閉形式式を確立する。
• 一般化ナラヤナ数の文脈において、γ行列、ジャコビ連分数、および二項変換の関係を調査する。

提案手法

• パスカル型行列とその関連するγ行列を表すために、2変数生成関数h(x, y)およびγ(x, y)を用いる。
• 生成関数の関係を特定するために、INVERT(y)変換を適用する。
• r-ナラヤナ数の生成関数およびそれに対応するγ行列の生成関数を、ジャコビ連分数を用いて表現する。
• 生成関数間のINVERT変換関係を逆転させるために、(−y)-番目の二項変換を用いる。
• 指数型リオーダン配列理論を用いて、特に[ex, x(1 + rx/2)]に対してγ行列を導出する。
• 指数型リオーダン配列[ex, x(1 + rx/2)]のγ行列の要素が(n choose 2k) * rk * (2k−1)!!に等しいことを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 通常リオーダン配列によって定義されるパスカル型行列に対して、γ行列はどのように特徴づけられるか？
• RQ2 パスカル型行列の生成関数とそのγ行列の生成関数の間にはどのような関係があるか？
• RQ3 リオーダン配列の三角形の逆行列のγ行列は、元のγ行列とどのように関係するか？
• RQ4 指数型リオーダン配列のγ行列は明示的に計算可能か？また、その組合せ的解釈は何か？
• RQ5 ジャコビ連分数および二項変換は、γ行列の生成関数およびそれに対応するナラヤナ型数の特徴づけにおいて、どのような役割を果たすか？

主な発見

• 通常リオーダン配列(1/(1−x), x(1+rx)/(1−x))のγ行列は、伸びたリオーダン配列(1/(1−x), rx²/(1−x))によって与えられ、その要素はγn,k = (n−k choose k) * rkである。
• パスカル型行列の生成関数h(x, y)は、そのγ行列の生成関数γ(x, y)のINVERT(y)変換である。
• r-ナラヤナ数の生成関数は、ジャコビ連分数J((y+1), (y+1), ...; ry, ry, ...)として表現され、γ行列の生成関数はJ(1, 1, ...; ry, ry, ...)として表現される。
• 指数型リオーダン配列[ex, x(1 + rx/2)]のγ行列の生成関数は、(−y)-番目の二項変換を用いてex(1 + rxy/2)として得られる。
• r=1の場合、γ行列はA100861（ベッセル数）に対応し、関連するパスカル型行列はA100862（コロナマッチング）に対応する。
• r=2の場合、γ行列はA059344（エルミート多項式の係数）に対応し、関連するパスカル型行列の行和はA000898（対称的インボリューション）に対応する。