[論文レビュー] The Gapeev-Kühn stochastic game driven by a spectrally positive Lévy process

Erik J. Baurdoux, Andreas E. Kyprianou+1 more|ArXiv.org|Apr 24, 2009

Stochastic processes and financial applications参考文献 7被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、スケール関数とフラクチュエーション理論を用いて、スペクトル的に正のLévy過程で駆動される永続的コンバーチブル・ボンドのための確率ゲームを解き、連続的および滑らかな適合を特徴づけ、4つのパrameter領域を特定し、完全な解を確立する。主な貢献は、スケール関数によるナッシュ均衡の厳密な同定と、有界でない変動性の場合の滑らかな貼り合わせの明示的条件の特定である。

ABSTRACT

In Gapeev and Kühn (2005), the stochastic game corresponding to perpetual convertible bonds was considered when driven by a Brownian motion and a compound Poisson process with exponential jumps. We consider the same stochastic game but driven by a spectrally positive Lévy process. We establish a complete solution to the game indicating four principle parameter regimes as well as characterizing the occurence of continuous and smooth fit. In Gapeev and Kühn (2005), the method of proof was mainly based on solving a free boundary value problem. In this paper, we instead use fluctuation theory and an auxiliary optimal stopping problem to find a solution to the game.

研究の動機と目的

• ブラウン運動および複合ポアソン過程から生じるGapeev–Kühnの確率ゲームの解を、スペクトル的に正のLévy過程へと拡張すること。
• 一般のLévy力学におけるゲームのナッシュ均衡（確率的サドル点）の存在と構造を特徴づけること。
• 価値関数において連続的および滑らかな適合が発生する条件を特定すること、特に有界でない変動性の場合を含む。
• ゲームが解を有する場合の、有界および有界でない変動性の両方のパrameter領域の完全な分類を確立すること。
• 従来の自由境界アプローチに代わる、フラクチュエーション理論と補助的最適停止問題に基づく新しい証明戦略を提供すること。

提案手法

• 著者らは、スペクトル的に正のLévy過程に関連するスケール関数 $ W^{(p)} $ と $ Z^{(p)} $ を用いて、フラクチュエーション恒等式を表現し、価値関数を導出する。
• ゲームの価値関数を分析し、滑らかでない適合および連続的適合の条件を導出するために、補助的最適停止問題を導入する。
• 解は滑らかな貼り合わせの原則によって構築され、利得関数の微分が閾値 $ c $ で連続であることが要求される。
• 最適な閾値 $ c $ を決定するための、Lévy測度 $ \Pi $、ラプラス指数 $ \psi $、およびスケール関数を含む積分方程式を導出する。
• 関数 $ F(c) $ の単調性および連続性を分析することにより、解の存在および一意性を証明する。この関数 $ F(c) $ は閾値を、等しく $ K $ でなければならない値に写像する。
• 有界変動経路と有界でない変動経路を区別し、$ W^{(p)} $ および $ W^{(p)\prime} $ がゼロにおける異なる条件を満たす。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スペクトル的に正のLévy過程で駆動される確率ゲームにおいて、ナッシュ均衡が存在する条件は何か？
• RQ2 パrameter $ \alpha, \beta, q, K $ およびLévy特性が、ゲームの解の構造にどのように影響を与えるか？
• RQ3 連続的適合はいつ発生し、最適性のために滑らかな適合が必要となるのはいつか？
• RQ4 スケール関数 $ W^{(p)} $ と $ Z^{(p)} $ は、最適停止時刻を特徴づけるために果たす役割は何か？
• RQ5 有界変動Lévy過程と有界でない変動Lévy過程の間で、解はどのように異なるか？

主な発見

• ゲームは、有界変動で正のドリフトを有する、有界変動でゼロドリフトを有する、有界でない変動で正の拡散を有する、および有界でない変動でゼロ拡散を有する、4つのパrameter領域すべてにおいて一意なナッシュ均衡を有する。
• 有界でない変動性の場合、滑らかな適合は、かつてその積分方程式 (7.28) を満たす閾値 $ c $ であるときに限り成立する。この条件は $ G_c'(c-) = G_c'(c+) = 0 $ を保証する。
• 式 (7.29) で定義される関数 $ F(c) $ は連続的かつ厳密に単調増加であり、滑らかな適合条件のための一意解を保証する。
• 極限 $ \lim_{c \downarrow -\infty} F(c) < K $ および $ \lim_{c \uparrow \log K} F(c) > K $ が成り立ち、これは $ (-\infty, \log K) $ 内に一意解が存在することを保証する。
• 期待ペイオフの有限性を保証するため、条件 $ \psi(-1) < q $ が成立しており、これは価値関数の存在に不可欠である。
• 価値関数 $ V(x) $ は、$ x \geq \log K $ に対して $ e^x $ として特徴づけられ、$ x < \log K $ に対してはスケール関数およびLévy測度上の積分を用いて表現される。