[論文レビュー] The Garman-Klass volatility estimator revisited

Isaac Meilijson|ArXiv.org|Jul 22, 2008

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 12被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、Garman-Klassのボラティリティ推定器を再考し、$ S_2 = (C, \text{min}(-L, H-C), \text{max}(-L, H-C)) $ という圧縮統計量に基づく新しい2次的不偏推定量を提案する。ここで $ C = |CLOSE - OPEN| $、$ H = MAX - OPEN $、$ L = OPEN - MIN $ である。本推定量は、経路反転による対称性と改善された十分統計量の利用により、Garman-Klassの7.4よりわずかに高い7.7322の効率を達成し、分散は $ 0.258658\sigma^4 $ にまで低下する。これは、重尾分布を示すリターンにおいても、既存の推定量を上回る性能を発揮する。

ABSTRACT

The Garman-Klass unbiased estimator of the variance per unit time of a zero-drift Brownian Motion B, based on the usual financial data that reports for time windows of equal length the open (OPEN), minimum (MIN), maximum (MAX) and close (CLOSE) values, is quadratic in the statistic S1=(CLOSE-OPEN, OPEN-MIN, MAX-OPEN). This estimator, with efficiency 7.4 with respect to the classical estimator (CLOSE-OPEN)^2, is widely believed to be of minimal variance. The current report disproves this belief by exhibiting an unbiased estimator with slightly but strictly higher efficiency 7.7322. The essence of the improvement lies in the observation that the data should be compressed to the statistic S2 defined on W(t)= B(0)+[B(t)-B(0)]sign[(B(1)-B(0)] as S1 was defined on the Brownian path B(t). The best S2-based quadratic unbiased estimator is presented explicitly. The Cramer-Rao upper bound for the efficiency of unbiased estimators, corresponding to the efficiency of large-sample Maximum Likelihood estimators, is 8.471. This bound cannot be attained because the distribution is not of exponential type. Regression-fitted quadratic functions of S2 (with mean 1) markedly out-perform those of S1 when applied to random walks with heavy-tail-distributed increments. Performance is empirically studied in terms of the tail parameter.

研究の動機と目的

• ボラティリティの最小分散不偏2次推定量として長らく認識されてきたGarman-Klass推定量の正当性に疑問を呈すること。
• リターンの符号に基づく経路反転を用いて、元の $ S_1 = (CLOSE-OPEN, MAX-OPEN, MIN-OPEN) $ を圧縮した洗練された十分統計量 $ S_2 $ を活用することで、Garman-Klass推定量を改善すること。
• $ S_2 $ から導かれる4つの基本的不偏推定量を最適化した重みを用いて、$ \sigma^2 $ の新しい2次的不偏推定量を構築し、Garman-Klassを上回る高い効率を達成すること。
• 特に安定分布および $ t $-分布に従うリターンの下で、性能を経験的に評価すること。

提案手法

• 経路反転変換 $ W(t) = B(0) + [B(t) - B(0)] \cdot \text{sign}(B(1) - B(0)) $ を提案し、$ S_1 $ が保持する分散関連の情報を完全に再構成せずに、対称的で十分な統計量 $ S_2 $ を得る。
• $ S_2 $ を $ (C, \min(-L, H-C), \max(-L, H-C)) $ と定義し、ここで $ C = |c| $、$ H = h $、$ L = l $、$ c = CLOSE - OPEN $、$ h = MAX - OPEN $、$ l = MIN - OPEN $ である。
• 4つの基本的不偏推定量 $ \sigma^2 $ を特定：$ \hat{\sigma}_1^2 = 2[(H-C)^2 + L^2] $、$ \hat{\sigma}_2^2 = C^2 $、$ \hat{\sigma}_3^2 = 2(H-C-L)C $、$ \hat{\sigma}_4^2 = -\frac{(H-C)L}{2\log(2) - 5/4} $、それぞれの分散は既知。
• 最適化された重み $ \alpha_i $ を用いて新しい2次推定量 $ \hat{\sigma}^2 = \sum_{i=1}^4 \alpha_i \hat{\sigma}_i^2 $ を構築。重みは平均1制約の下での最小分散を満たすように決定。
• Rao-Blackwell定理を用いて、$ S_2 $-ベースの推定量は $ S_1 $-ベースのものより厳密に低い分散を持つことが保証され、Garman-Klassがこの上限に達していないことを示した。
• $ t $-分布および安定分布の増分を伴うシミュレーテッド ランダムウォークを用いて、性能を経験的に評価。尾部挙動と分散推定量の収束性を測定。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Garman-Klass推定量の分散よりも厳密に低い分散を持つ、新たな不偏2次ボラティリティ推定量を構築可能か？
• RQ2 $ S_1 $ から導かれる経路反転に基づく十分統計量 $ S_2 $ を用いることで、Garman-Klass推定量よりも低い分散を持つ推定量が得られるか？
• RQ3 ブラウン運動下での不偏ボラティリティ推定量の理論的効率限界は何か？ また、実用的な推定量はこの限界にどの程度近づけるか？
• RQ4 重尾分布を示すリターン分布下で、提案手法とGarman-Klass推定量の性能はどのように比較されるか？

主な発見

• 提案手法の分散は $ 0.258658\sigma^4 $ にまで低下し、効率は7.7322に達する。これはGarman-Klass推定量の7.4を厳密に上回る。
• 新しい推定量は4つの基本的不偏推定量の重み付き和で表される：$ \hat{\sigma}^2 = 0.273520 \hat{\sigma}_1^2 + 0.160358 \hat{\sigma}_2^2 + 0.365212 \hat{\sigma}_3^2 + 0.200910 \hat{\sigma}_4^2 $。重みは平均1制約の下での分散最小化を満たすように導出された。
• 不偏推定量のCramér-Rao上限は $ 8.471 $ である。これは、提案手法が理論的限界にまだ達していないことを示しており、分布が指数型分布族ではないため、この上限は達成不可能である。
• 重尾分布（例：自由度3の $ t $-分布）下では、$ S_2 $ の関数としての回帰適合2次関数が、$ S_1 $ のそれよりも著しく優れた性能を示し、特に尾部挙動と収束性において顕著な差が見られた。
• $ N=50 $ 個の増分を1時間窓に含む場合、$ df=3 $ のとき、$ C^2 $ 推定量の経験的分散は0.7630に達し、$ N \to \infty $ のとき2に収束するが、提案手法は自由度の変化に関係なく安定した性能を維持した。
• Rao-Blackwell定理により、$ S_2 $-ベースの推定量は $ S_1 $-ベースのものより厳密に低い分散を持つことが保証され、提案手法はこの改善に不変でないことが示された。これにより、Garman-Klass推定量とは同一ではないことが証明された。