[論文レビュー] The Gauss Curvature of a model surface with finite total curvature is not always bounded

Minoru Tanaka, Kei Kondo|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2011

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、有限な全曲率を持つ回転面で、ガウス曲率が有界でないものを構成し、このような曲面が必ず有界曲率を持つと仮定することは誤りであることを挑戦する。さらに、全曲率が $2\pi$ より小さい非コンパactなモデル曲面より曲率が小さくない完全な非コンパクトなリーマン多様体は、境界をもつコンパクト多様体の内部にホメオモーティックであることを証明し、定曲率の下界がある多様体に限らない比較幾何学を拡張する。

ABSTRACT

We will construct surfaces of revolution with finite total curvature whose Gauss curvatures are not bounded. Such a surface of revolution is employed as a reference surface of comparison theorems in radial curvature geometry. Moreover, we will prove that a complete non-compact Riemannian manifold M is homeomorphic to the interior of a compact manifold with boundary, if the manifold M is not less curved than a non-compact model surface of revolution, and if the total curvature of the model surface is finite and less than $2\pi$. Hence, in the first result mentioned above, we may treat a much wider class of metrics than that of a complete non-compact Riemannian manifold whose sectional curvature is bounded from below by a constant.

研究の動機と目的

• 有限な全曲率を持つ回転面が有界でないガウス曲率をもつ可能性を示し、一般的な仮定に反することを示すこと。
• 定曲率の下界がある多様体に限らない、より広いクラスのモデル曲面へ、径方向曲率幾何学における比較定理を拡張すること。
• 完全な非コンパクトなリーマン多様体が境界をもつコンパクト多様体の内部にホメオモーティックであるための位相的条件を確立すること。
• モデル曲面における有界なセクションフラ曲率の要件を緩和することで、既存の比較幾何学の結果を一般化すること。

提案手法

• 径方向計量関数を用いて、有限な全曲率だが有界でないガウス曲率をもつ回転面の明示的例を構成すること。
• 径方向曲率幾何学の技法を用いて、モデル曲面と一般のリーマン多様体の曲率特性を比較すること。
• モデル曲面の全曲率を分析し、特にそれが有限で $2\pi$ より小さいことを要件とすることで、位相的帰結を導出すること。
• リーマン幾何学における比較定理を用いて、モデル曲面の曲率行動とターゲット多様体のトポロジーを関連させること。
• 位相的不変性の結果を適用し、曲率比較条件を満たせば、多様体が境界をもつコンパクト多様体の内部にホメオモーティックであると結論づけること。
• 回転面の構造を活用して、曲率と全曲率を制御しつつ、点ごとのガウス曲率が有界でない状況を許容すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限な全曲率を持つ回転面が有界でないガウス曲率をもつことは可能か？
• RQ2 完全な非コンパクトなリーマン多様体が、全曲率が有限で $2\pi$ より小さい非コンパクトなモデル曲面より曲率が小さくない場合、どのような位相的帰結が生じるか？
• RQ3 全曲率が $2\pi$ より小さいという条件が、径方向曲率比較における多様体のトポロジーにどのように影響するか？
• RQ4 径方向曲率幾何学における比較定理は、有界なセクションフラ曲率を持つ多様体に限らず、どの程度まで一般化可能か？
• RQ5 境界をもつコンパクト多様体の内部にホメオモーティックであるためには、有界なセクションフラ曲率の仮定が必須か？

主な発見

• 有限な全曲率を持つがガウス曲率が有界でない回転面が存在し、有限な全曲率が点ごとの曲率の制御を意味するとは限らないことを示している。
• このような曲面の構成は、有限な全曲率が曲率の制御を意味すると直感的に仮定するのを覆す反例を提供する。
• 全曲率が $2\pi$ より小さい非コンパクトな回転面モデルより曲率が小さくない完全な非コンパクトなリーマン多様体は、境界をもつコンパクト多様体の内部にホメオモーティックである。
• モデル曲面における有界なセクションフラ曲率の要件を緩和することで、径方向曲率幾何学における比較定理が一般化されている。
• 有効なモデル曲面のクラスは、有界なセクションフラ曲率を持つものに限らず、はるかに広がっており、より広範な位相的応用が可能になる。
• 全曲率が $2\pi$ より小さいという条件は、位相的結論にとって不可欠であり、必要な幾何学的・位相的制約が満たされるからである。