[論文レビュー] The Gelfand-Kalinin-Fuks class and characteristic classes of transversely symplectic foliations

D. Kotschick, Shigeyuki Morita|ArXiv.org|Oct 18, 2009

Geometric and Algebraic Topology参考文献 12被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、形式的ハミルトニアンベクトル場のゲルファンド＝フクスコホモロジーにおける、次数7、重み8のゲルファンド＝カリニン＝フクス（GKF）類が、葉コホモロジー類η（次数5）と横断的シンプレクティック類ωの積η ∧ ωとして実現されることを確立する。さらに、コンツェビッチの方法により構成された横断的シンプレクティックfoliationの特性類が非自明であることを証明し、GKF類の幾何的意義に関する長年の未解決問題を解決する。

ABSTRACT

In the early 1970's, Gelfand, Kalinin and Fuks found an exotic characteristic class of degree 7 in the Gelfand-Fuks cohomology of the Lie algebra of formal Hamiltonian vector fields on the plane. We prove that this cohomology class can be decomposed as a product of a certain leaf cohomology class of degree 5 and the transverse symplectic class. This is similar to the well known factorization of the Godbillon-Vey class for codimension n foliations. We also interpret the characteristic classes of transversely symplectic foliations introduced by Kontsevich in terms of the known classes and prove non-triviality for some of them.

研究の動機と目的

• 横断的シンプレクティックfoliationの文脈において、非自明なゲルファンド＝カリニン＝フクス（GKF）類（次数7）を解釈すること。
• そのGKF類が、このようなfoliationの特性類として幾何的に非自明であるかどうかを特定すること。
• コンツェビッチのホモモルフィズムΦを次数2nまで完全に計算し、得られる特性類の非自明性を証明すること。
• n → ∞におけるコホモロジーの安定極限とグラフコホモロジー代数との関係を調査すること。

提案手法

• コンツェビッチの枠組みを用いて、横断的シンプレクティックfoliationの特性類を形式的ハミルトニアンベクトル場のゲルファンド＝フクスコホモロジーと関連付ける。
• GKF類をη ∧ ωの形に分解し、η ∈ H^5_{GF}(\mathfrak{ham}_2^0, \mathfrak{sp}(2,\mathbb{R}))_{10} は葉コホモロジー類、ωは横断的シンプレクティック類である。
• アーベル化 \\mathfrak{ham}_{2n}^1 \to S^3 H^{2n}_{\mathbb{R}} により、ホモモルフィズム Φ: H^*(S^3 H^{2n}_{\mathbb{R}})^{\mathrm{Sp}(2n,\mathbb{R})} \to H^{*+2n}_{GF}(\mathfrak{ham}_{2n}, \mathrm{Sp}(2n,\mathbb{R})) が誘導されることを示す。
• \mathfrak{ham}_{2n}^0 のコホモロジーの生成関数を重み32まで計算し、既知のグラフコホモロジー代数 \mathcal{A}(\phi) の生成関数と比較する。
• 安定極限 Φ_∞ の核と像を解析し、\mathrm{Im}\, \Phi_\infty \cong \mathcal{A}(\phi) であることを示し、不安定な類の上昇に関する障害を同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ゲルファンド＝カリニン＝フクス類は、葉コホモロジー類と横断的シンプレクティック類の積として表現可能か？
• RQ2 コンツェビッチの方法により構成された横断的シンプレクティックfoliationの特性類は、de Rhamコホモロジーにおいて非自明か？
• RQ3 葉コホモロジー類ηは、n → ∞におけるコホモロジーの安定極限に生き残るか？
• RQ4 \mathfrak{ham}_{2n}^0 のコホモロジーとグラフコホモロジー代数 \mathcal{A}(\phi) の生成関数は、低次の項においてどのように比較できるか？

主な発見

• ゲルファンド＝カリニン＝フクス類は、η ∧ ωの形に分解され、ηは次数5の葉コホモロジー類、ωは横断的シンプレクティック類である。これはゴッドビロン＝ヴェイ類の因子分解と類似した幾何的解釈を提供する。
• \mathfrak{ham}_{2n}^0 のコホモロジーの生成関数は、重み32までで 1 + t^2 - t^{10} + t^{12} - t^{14} - t^{16} + t^{18} - 3t^{24} + 2t^{26} + \cdots であり、-t^{10} 項は葉類ηに対応する。
• 安定極限におけるコンツェビッチのホモモルフィズム Φ_∞ の像は、グラフコホモロジー代数 \mathcal{A}(\phi) \cong \mathbb{R}[\text{頂点に向きのついた三重グラフ}]/(\text{AS, IHX}) に同型であり、\mathrm{Ker}\, \Phi_\infty は S^4 H^{2n}_{\mathbb{R}} の \mathrm{Sp}(2n,\mathbb{R})-不変部分を生成するイデアルの部分に一致する。
• 安定生成関数 c(t) = 1 + t^2 + 2t^4 + 3t^6 + 6t^8 + \cdots は、次数8まで \mathcal{A}(\phi) の既知の生成関数と一致するが、次数10で相違を示し、高次での不一致の可能性を示唆する。
• 本稿では、コンツェビッチの一部の特性類が非自明であることを示し、GKF類の幾何的意義に関する長年の未解決問題を解決する。
• 著者らは、次数9、重み14のMetoqui類が、ある次数7の葉コホモロジー類η'に対してη' ∧ ωの形に因数分解可能であると予想しているが、これは未解決のままである。