[論文レビュー] The Gelfand-Zeitlin integrable system and its action on generic elements of gl(n) and so(n)

Mark Colarusso|ArXiv.org|Nov 6, 2008

Advanced Algebra and Geometry参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、gl(n)からso(n)へのGelfand-Zeitlin可積分系の拡張を行い、正則共役軌道の次元の半分であるdに対して、複素直交リー代数so(n)上にℂ^dの解析的作用を構成する。この作用がso(n)内の正則半単純元のZariski開部分集合上で推移的であることを証明し、KostantとWallachによるgl(n)の結果を一般化し、極小部分代数および正則半単純ファイバーにおけるA軌道の完全な記述を確立する。

ABSTRACT

In recent work Bertram Kostant and Nolan Wallach ([KW1], [KW2]) have defined an interesting action of a simply connected Lie group $A$ isomorphic to \mathbb{C}^{n\choose 2} on gl(n) using a completely integrable system derived from Gelfand-Zeitlin theory. In this paper we show that an analogous action of \mathbb{C}^{d} exists on the complex orthogonal Lie algebra so(n), where d is half the dimension of a regular adjoint orbit in so(n). In [KW1], Kostant and Wallach describe the orbits of $A$ on a certain Zariski open subset of regular semisimple elements in gl(n). We extend these results to the case of so(n). We also make brief mention of the author's results in [Col1], which describe all $A$-orbits of dimension {n\choose 2} in gl(n).

研究の動機と目的

• Gelfand-Zeitlin可積分系とそれに付随するℂ^dの作用をgl(n)からso(n)に拡張すること。
• 不変多項式から導かれるハミルトニアンベクトル場を用いて、so(n)上にℂ^dの解析的作用を構成すること。
• so(n)内の正則半単純元のZariski開部分集合におけるこの作用の軌道構造を記述すること。
• KostantとWallachによるgl(n)に関する結果を直交的ケースに一般化し、so(n)における新しい証明と完全な記述を提供すること。
• 極小部分代数𝔤𝔩(n)₀ˢʳᵉᵍにおけるA軌道を分類し、対角Cartan部分代数を含むBorel部分代数と関連付けること。

提案手法

• x ∈ so(n)の主小行列のトレースまたはPfaffianを用いて定義される関数f_{i,j}を用いて、so(n)上に完全可積分系を構成する。
• ベクトル場の代数𝔞を、1 ≤ i ≤ n−1および1 ≤ j ≤ r_iを満たすf_{i,j}に対応するハミルトニアンベクトル場の張る空間として定義する。
• 𝔞がso(n)上に大域的で解析的なA ≅ ℂ^dの作用に統合可能であることを証明し、[KW1]におけるgl(n)の結果を一般化する。
• f_{i,j}関数のポisson可換性および代数的独立性を用いて、正則共役軌道上で完全可積分性を確立する。
• Gelfand-Zeitlin写像Ψ: so(n) → ℂ^{n(n+1)/2}のファイバーを調べ、作用が推移的であるパラメータcの集合Θ_nを同定することで、正則半単純元における作用を分析する。
• Weyl群作用を用いて、極小部分代数内のA軌道の閉包を置換により分類し、Borel部分代数の極小部分代数と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素直交リー代数so(n)に対して、Kostant-Wallach作用の類似が存在するか？
• RQ2 Gelfand-Zeitlin可積分系をso(n)に拡張することで、正則半単純元におけるℂ^dの推移的作用が得られるか？
• RQ3 so(n)の極小部分代数におけるA軌道の構造は何か？また、Borel部分代数とはどのように関係するか？
• RQ4 パラメータc ∈ ℂ^{n(n+1)/2}のうち、A作用がファイバーΨ⁻¹(c) ∩ so(n)ˢʳᵉᵍ上で推移的となるのはどのようなものか？
• RQ5 極小部分代数におけるA軌道の閉包は、標準Cartan部分代数を含むBorel部分代数の共役類とどのように対応するか？

主な発見

• 正則共役軌道の次元の半分d = ½ dim(orbit)に対して、so(n)上にℂ^dの解析的作用が存在し、KostantとWallachによるgl(n)の結果を拡張する。
• so(n)内の正則半単純元のZariski開部分集合におけるℂ^dの作用が推移的であることは、対応するパラメータcがZariski開集合Θ_n ⊂ ℂ^{n(n+1)/2}に属する場合に限り成り立つ。
• 極小部分代数𝔤𝔩(n)₀ˢʳᵉᵍにはちょうど2^{n−1}個のA軌道があり、それぞれの軌道の閉包は、対角Cartan部分代数を含むBorel部分代数の極小部分代数である。
• 𝔤𝔩(n)₀ˢʳᵉᵍにおける各A軌道の閉包は、一意的なWeyl群元σ = σ₁⋯σ_{n−1}を用いて、厳密下三角行列に共役化可能であり、各σ_iは恒等写像またはS_{i+1}における長さ最大の元である。
• Gelfand-Zeitlin写像のファイバー上でA作用が推移的となる、強く正則な元の最大集合はℤ_Θ = Ψ⁻¹(Θ_n) ∩ 𝔤𝔩(n)ˢʳᵉᵍである。
• 𝔤𝔩(n)₀ˢʳᵉᵍにおけるA軌道構造は、(ℂ×)^{n−1} × ℂ^{{ninom{2}} - n + 1}の自由代数的作用によって記述され、軌道数および閉包構造が確認される。