[論文レビュー] The general Penrose inequality: lessons from numerical evidence

Janusz Karkowski, Edward Malec|ArXiv.org|Dec 21, 2004

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、真空中および物質で満たされた初期データセットの数値シミュレーションを通じて、一般化されたペネローズ不等式を検証し、不等式の複数の定式化をテストした。結果として、外側最小表面から分岐する限り、過去および未来の可視地平面が交差しても交差しなくても、ドミナントエネルギー条件が満たされている限り、両方の可視地平面に対して不等式が成り立つことが判明した。これは、物理的に関連のある状況において、その予想に対する強い数値的支援を提供する。

ABSTRACT

Formulation of the Penrose inequality becomes ambiguous when the past and future apparent horizons do cross. We test numerically several natural possibilities of stating the inequality in punctured and boosted single- and double- black holes, in a Dain-Friedrich class of initial data and in conformally flat spheroidal data.The Penrose inequality holds true in vacuum configurations for the outermost element amongst the set of disjoint future and past apparent horizons (as expected)and (unexpectedly) for each of the outermost past and future apparent horizons, whenever these two bifurcate from an outermost minimal surface, regardless of whether they intersect or remain disjoint. In systems with matter the conjecture breaks down only if matter does not obey the dominant energy condition.

研究の動機と目的

• 過去および未来の可視地平面が交差する可能性のある球対称でない時空において、一般化ペネローズ不等式の複数の定式化をテストすること。
• グローバルに外側の可視地平面でない個々の外側最小過去および未来可視地平面に対してもペネローズ不等式が成り立つかどうかを特定すること。
• 特に物質で満たされた時空において、ドミナントエネルギー条件が不等式の妥当性に果たす役割を調査すること。
• 外在的曲率が小さい初期データにおいて、局所的な解析的証明の数値的証拠が得られるかを検討すること。
• 一般のフォリエーションにおいて可視地平面が交差する場合のペネローズ不等式の定式化における曖昧さを解明すること。

提案手法

• 共形法を用いて、共形平坦な計量と指定されたトレースレス外在的曲率を持つ初期データを構築すること。
• 境界条件：空間無限遠で $\phi \to 1$ かつ内側境界で定数となる条件下で、Lichnerowicz-York 方程式を数値的に $\phi$ について解くこと。
• パunctured ブラックホール（Bowen-York 型および Dain-Friedrich 型）および調整可能な物質密度を有するくさび型系の初期データを定義すること。
• ADM 質量 $m$ と可視地平面面積 $S_H$ を計算し、$m \geq \sqrt{S_H / 16\pi}$ を評価することで、ペネローズ不等式の複数のバリエーションをテストすること。
• エネルギー密度 $\rho$ のパラメータ $C$ を変化させ、$C=1$（ドミナントエネルギー条件を満たす）および $C=0$（破壊される）のケースをテストすること。
• 光学スカラー条件 $\theta_{\pm} = \nabla_i t^i \pm K_{ij}t^i t^j = 0$ を用いて、数値相対論的手法により可視地平面を特定すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 過去および未来の可視地平面が共通の最小表面から分岐する場合、それらが交差しても交差しなくても、ペネローズ不等式が成り立つか？
• RQ2 ドミナントエネルギー条件が満たされない系では、ペネローズ不等式が破綻する可能性があるか？
• RQ3 球対称でない真空中初期データにおいて、ペネローズ不等式の異なる定式化（例：PIS、PIM）はどのように性能を発揮するか？
• RQ4 外在的曲率が小さい初期データにおいて、不等式の局所的解析的証明を支持する一貫した数値的パターンが存在するか？
• RQ5 物質で満たされた非真空系において、最小表面がペネローズ不等式の妥当性を決定づける役割を果たすか？

主な発見

• 真空中の配置において、交差するか否かにかかわらず、外側最小過去および未来可視地平面の両方に対してペネローズ不等式が数値的に成立している。
• 外側最小表面から分岐する可視地平面を有するすべてのテストされた真空中のケースにおいて、各可視地平面に対して不等式 $m \geq \sqrt{S_H / 16\pi}$ が満たされている。
• $C=1$ の場合、エネルギー密度はドミナントエネルギー条件を満たし、不等式が成立する。例として、$\phi(r=1)=2.5$ のとき、$m \approx 3.00096$ および $m_H \approx 3.00067$ であり、$m > m_H$ が成り立つ。
• $C=0$ の場合、ドミナントエネルギー条件が破壊され、最初の2つの例で不等式が破綻する。例として、$m \approx 2.80004$ および $m_H \approx 2.80011$ であり、$m < m_H$ となる。
• 外側最小表面は、テストされたすべての配置において、過去および未来の可視地平面の両方の分岐点として一貫して機能している。
• 数値的結果から、外在的曲率が小さい初期データにおいて、不等式の局所的解析的証明への有望な道筋が示唆されており、第5節に概説されている。