[論文レビュー] The Generalisation of the Coulomb Gauge to Yang-Mills Theory

C. Cronström|ArXiv.org|Oct 1, 1998

Quantum and Classical Electrodynamics参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、任意のコンパクトな半単純ゲージ群をもつ非アーベルヤンミルズ理論へアーベル・クーロンゲージを一般化する。時間微分をガウスの法則から除去するゲージ条件を定式化することで、リー代数値のゲージパラメータに関する楕円型偏微分方程式を解くことにより、グリボフ問題に直面することなくゲージの存在と一意性を証明する。

ABSTRACT

I consider the problem of generalising the Abelian Coulomb gauge condition to the non-Abelian Yang-Mills theory, with an arbitrary compact and semi-simple gauge group. It is shown that a straightforward generalisation exists, which reduces the Gauss law into a form involving the gauge potentials only, but not their time derivatives. The existence and uniqueness of the generalised Coulomb gauge is shown to depend on an elliptic linear partial differential equation for a Lie-algebra valued quantity, which defines the gauge transform by means of which the generalised Coulomb gauge condition is realised. Thus the Gribov problem is actually non-existent in this case.

研究の動機と目的

• 任意のコンパクトな半単純ゲージ群をもつ非アーベルヤンミルズ理論へのアーベル・クーロンゲージ条件の拡張を図ること。
• ガウスの法則を時間微分を含まず、ゲージポテンシャルの成分のみで表すゲージ条件を定式化すること。
• ゲージパラメータの解が得られる適切な楕円型偏微分方程式を用いて、一般化されたクーロンゲージの存在と一意性を確立すること。
• ゲージ固定条件が適切な楕円型方程式を導くことにより、このゲージにおけるグリボフ問題を解消すること。
• 非アーベル的クーロンゲージの一般化を用いて、非アーベルゲージ理論の正準量子化を一貫して行う枠組みを提供すること。

提案手法

• リー代数値のゲージパラメータを解く楕円型偏微分方程式から導かれる一般化されたクーロンゲージ条件を定義する。
• ゲージパラメータに関する線形楕円型方程式を解くことにより、条件を満たすゲージ変換を構成する。
• ゲージ条件がガウスの法則を空間成分のみを含む形に簡略化することを保証する。
• コンパクトで半単純なリー群の性質を用いて、楕円型作用素が自己随伴的であり、一意解を持つことを保証する。
• 方程式の楕円型性のおかげで、ゲージ固定条件がグローバルに適切に定義されており、グリボフコピーを回避できることを示す。
• 関数空間における解の存在と一意性を、関数解析的手法を用いて証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アーベル・クーロンゲージ条件は、任意のコンパクトな半単純ゲージ群をもつ非アーベルヤンミルズ理論へ一貫して一般化可能か？
• RQ2 一般化されたクーロンゲージ条件は、ガウスの法則から時間微分を除去し、正準形式を可能にするか？
• RQ3 ゲージ固定条件はグローバルに適切に定義されており、グリボフの曖昧性を回避しているか？
• RQ4 一般化されたクーロンゲージに到達するためのゲージ変換を記述する微分方程式の型は何か？
• RQ5 楕円型偏微分方程式理論を用いて、ゲージ条件の存在と一意性を厳密に証明できるか？

主な発見

• リー代数値のゲージパラメータを用いた、非アーベルヤンミルズ理論へのクーロンゲージの一貫した一般化が達成された。
• 一般化されたゲージ条件により、ガウスの法則から時間微分が除去され、空間成分のみを含む純粋な制約となる。
• ゲージパラメータの解が適切に定義された楕円型線形偏微分方程式を解くことにより、ゲージの存在と一意性が保証された。
• ゲージ固定条件が楕円型方程式の一意解を導くため、この形式ではグリボフ問題が生じない。
• この方法は任意のコンパクトで半単純なゲージ群に適用可能であり、標準的な非アーベルゲージ理論に広く適用可能である。
• この構成は、グリボフの曖昧性を伴わないヤンミルズ理論の正準量子化のための堅実な基盤を提供する。