[論文レビュー] The Generalised Discrete Algebraic Riccati Equation in LQ optimal control

Augusto Ferrante, Lorenzo Ntogramatzidis|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2012

Numerical methods for differential equations参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、無限時間ホライズン線形二次(LQ)最適制御における一般化離散代数的リッカチ方程式(GDARE)の幾何学的解析を提供し、GDAREの解とは無関係に閉ループダイナミクスを支配する重要な部分空間${\cal R}_0$を特定する。安定化可能なGDARE解が存在しない場合、フィードバック則における自由度のおかげで追加項を介して安定化が可能となり、非正則な場合でも最適制御が可能になることを示している。

ABSTRACT

This paper investigates the properties of the solutions of the generalised discrete algebraic Riccati equation arising from the solution of the classic infinite-horizon linear quadratic control problem. In particular, a geometric analysis is used to study the relationship existing between the solutions of the generalised Riccati equation and the output-nulling subspaces of the underlying system and the corresponding reachability subspaces. This analysis reveals the presence of a subspace that plays an important role in the solution of the related optimal control problem, which is reflected in the generalised eigenstructure of the corresponding extended symplectic pencil. In establishing themain results of this paper, several ancillay problems on the discrete Lyapunov equation and spectral factorisation are also addressed and solved.

研究の動機と目的

• 無限時間ホライズンLQ最適制御に現れる一般化離散代数的リッカチ方程式(GDARE)の構造的性質を分析すること。
• GDAREの解と出力ノルム部分空間、到達可能部分空間、拡張シンプレクティックペンキルの関係を調査すること。
• GDAREの解とは無関係に閉ループダイナミクスを支配する重要な部分空間${\cal R}_0$を同定すること。
• 安定化可能なGDARE解が存在しない場合に最適制御が達成可能な条件を確立すること。
• モア・ペンローズ一般逆行列がGDAREの定式化において果たす役割を理解するための幾何学的・スペクトル的枠組みを構築すること。

提案手法

• 幾何的解析を用いて、GDAREの解とシステムの出力ノルム部分空間・到達可能部分空間との関係を結びつける。
• 拡張シンプレクティックペンキルの一般固有構造を分析し、${\cal R}_0$が閉ループダイナミクスに果たす役割を明らかにする。
• 項$R_X = R + B^T X B$を導入し、その核と像を調べることで解の挙動を特徴付ける。
• スペクトル因子分解を適用し、補助的な問題を離散リャプノフ方程式上で解くことで、主結果を支持する。
• $G_X = (I - R_X^\flat R_X)$である状態フィードバック形式$u_k = -K_X x_k + G_X v_k$を導出し、$v_k$による自由度を導入する。
• 解$X$が安定化可能でない場合であっても、$L$を用いた$A_{\rm CL} = A_X + B G_X L$によって閉ループ行列を安定化できることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化離散代数的リッカチ方程式の解と出力ノルム部分空間・到達可能部分空間との幾何学的関係は何か？
• RQ2 安定化可能なGDARE解が存在しない場合、部分空間${\cal R}_0$は閉ループダイナミクスにどのように影響を与えるか？
• RQ3 閉ループ行列のスペクトルが${\cal R}_0$に制限された場合、拡張シンプレクティックペンキルの一般固有構造とはどのように分離されているか？
• RQ4 安定化可能なGDARE解が存在しない場合、安定化可能なフィードバックを構成できるか、もしそうならどのように行えるか？
• RQ5 行列$R + B^T X B$が特異である場合、モア・ペンローズ一般逆行列が最適性を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 特定の制約付き一般化離散代数的リッカチ方程式(CGDARE)の解とは無関係に、閉ループダイナミクスが不変である部分空間${\cal R}_0$が存在する。
• 部分空間${\cal R}_0$に制限された閉ループ行列のスペクトルは、拡張シンプレクティックペンキルの一般固有構造に反映されないため、隠れた構造的不変性が示唆される。
• 拡張シンプレクティックペンキルが非正則（すなわち${\cal R}_0 \neq \{0\}$）である場合、フィードバック則における自由度のおかげで、安定化可能なGDARE解が存在しない場合でも安定化が可能である。
• 最適制御は$u_k = -K_X x_k + G_X v_k$（$G_X = (I - R_X^\flat R_X)$）として表現でき、$v_k$が閉ループ系の安定化に調整可能な成分を提供する。
• コスト$J^* = x_2^2(0)$は、フィードバックにおける$L$の選択にかかわらず不変であり、すべてのこのような閉ループ系が最適であることを確認する。
• 本稿では、すべての最適閉ループ行列の集合が$A_{\rm CL} = A_X + B G_X L$によってパラメータ化され、零行列や冪零行列を含む安定化可能な行列が含まれることを確立している。