[論文レビュー] The generalised random dot product graph

Patrick Rubin‐Delanchy, Carey E. Priebe+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2017

Complex Network Analysis Techniques被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、不定計量 $I_{p,q}$ を用いた双線形形式によってエッジ確率が定義される、$\r^d$ 内のノードを確率的ベクトルとしてモデル化する、一般化されたランダムドット積グラフを提案する。このモデルは、ストークスティックブロックモデル、ミックスドメンバーシップストークスティックブロックモデル、およびランダムドット積グラフを統合する柔軟な潜在位置ネットワークモデルであり、混合メンバーシップを凸結合として一意に表現し、不定正規直交群 $O(p,q)$ の変換に関して同定可能性を保証することで、クラスタリングおよび予測に対する頑健な推論を可能にする。

ABSTRACT

This paper introduces a latent position network model, called the generalised random dot product graph, comprising as special cases the stochastic blockmodel, mixed membership stochastic blockmodel, and random dot product graph. In this model, nodes are represented as random vectors on $\mathbb{R}^d$, and the probability of an edge between nodes $i$ and $j$ is given by the bilinear form $X_i^T I_{p,q} X_j$, where $I_{p,q} = \mathrm{diag}(1,\ldots, 1, -1, \ldots, -1)$ with $p$ ones and $q$ minus ones, where $p+q=d$. As we show, this provides the only possible representation of nodes in $\mathbb{R}^d$ such that mixed membership is encoded as the corresponding convex combination of latent positions. The positions are identifiable only up to transformation in the indefinite orthogonal group $O(p,q)$, and we discuss some consequences for typical follow-on inference tasks, such as clustering and prediction.

研究の動機と目的

• ストークスティックブロックモデル、ミックスドメンバーシップストークスティックブロックモデル、およびランダムドット積グラフを統合する、単一の柔軟なフレームワークへ統合すること。
• 混合メンバーシップが潜在ベクトルの凸結合として自然に表現されるような、潜在位置モデルを形式化すること。
• 潜在位置の同定可能性を、$I_{p,q}$ で定義される不定内積構造に関して特徴づけること。
• $O(p,q)$-不変性が、クラスタリングや予測などの後続推論タスクに与える影響を検討すること。

提案手法

• ノードを $\r^d$ 内の確率的ベクトルとしてモデル化し、エッジ確率を $X_i^T I_{p,q} X_j$ で定義する。ここで $I_{p,q} = \mathrm{diag}(1,\ldots,1,-1,\ldots,-1)$ であり、$p$ 個の 1 と $q$ 個の -1 を含む。
• 不定計量 $I_{p,q}$ を用いて標準的ドット積を一般化し、ネットワーク構造における正のおよび負の依存関係の両方を表現可能にする。
• 混合メンバーシップが、この双線形形式のもとでのみ可能となる凸結合として潜在位置に符号化されることを保証する。
• 潜在位置が、双線形形式を保存する不定正規直交群 $O(p,q)$ の変換に関してのみ同定可能であることを確立する。
• $O(p,q)$ 変換における不変性などの理論的性質を導出し、頑健な推論を支援する。
• $O(p,q)$ 不変性を活用して、クラスタリングや予測などの推論タスクにモデルを適用し、安定性および解釈可能性を向上させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単一のネットワークモデルが、ストークスティックブロックモデル、ミックスドメンバーシップストークスティックブロックモデル、およびランダムドット積グラフをどのように統合できるか？
• RQ2 潜在ベクトルの凸結合として混合メンバーシップを自然に符号化する、ノードの潜在位置の固有表現は何か？
• RQ3 不定計量 $I_{p,q}$ の使用が、モデル内での潜在位置の同定可能性に与える影響は何か？
• RQ4 $O(p,q)$-不変性が、ネットワーク解析における統計的推論に与える影響は何か？
• RQ5 このモデルは、潜在位置の不確実性下でも、頑健なクラスタリングおよび予測をサポートできるか？

主な発見

• 一般化されたランダムドット積グラフは、混合メンバーシップが潜在ベクトルの凸結合として符号化される唯一の可能な $\r^d$ 内の潜在位置表現を提供する。
• モデルのエッジ確率構造が $I_{p,q}$ を用いることで、線形潜在空間における混合メンバーシップの符号化に、双線形形式 $X_i^T I_{p,q} X_j$ が唯一のメカニズムであることが保証される。
• ノードの潜在位置は、双線形形式を保存する不定正規直交群 $O(p,q)$ の変換に関してのみ同定可能である。
• この $O(p,q)$-不変性は、クラスタリングや予測などの推論タスクが、このような変換に対して不変であることを意味し、頑健性を向上させる。
• このフレームワークは、自然にストークスティックブロックモデル、ミックスドメンバーシップストークスティックブロックモデル、およびランダムドット積グラフを特別なケースとして包含する。
• このモデルは、混合メンバーシップと構造的非均一性を、統一された幾何的フレームワークを通じて共同でモデル化する、原理的で整合性のあるネットワーク解析のアプローチを可能にする。