[論文レビュー] The generalized 3-connectivity of Cartesian product graphs

Hengzhe Li, Xueliang Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2011

Advanced Graph Theory Research参考文献 8被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、カルテシアン積グラフの一般化された3連結性を調査し、因子グラフの3連結性および標準的連結性に基づいて $\kappa_3(G\Box H)$ のタイトな下界を確立する。$\kappa(G) > \kappa_3(G)$ のとき $\kappa_3(G\Box H) \geq \kappa_3(G) + \kappa_3(H)$ を証明し、$\kappa(G) = \kappa_3(G)$ のとき $\kappa_3(G\Box H) \geq \kappa_3(G) + \kappa_3(H) - 1$ を示し、両方の境界が構成と例を通じてタイトであることが示されている。

ABSTRACT

The generalized connectivity of a graph, which was introduced recently by Chartrand et al., is a generalization of the concept of vertex connectivity. Let $S$ be a nonempty set of vertices of $G$, a collection $\{T_1,T_2,...,T_r\}$ of trees in $G$ is said to be internally disjoint trees connecting $S$ if $E(T_i)\cap E(T_j)=\emptyset$ and $V(T_i)\cap V(T_j)=S$ for any pair of distinct integers $i,j$, where $1\leq i,j\leq r$. For an integer $k$ with $2\leq k\leq n$, the $k$-connectivity $κ_k(G)$ of $G$ is the greatest positive integer $r$ for which $G$ contains at least $r$ internally disjoint trees connecting $S$ for any set $S$ of $k$ vertices of $G$. Obviously, $κ_2(G)=κ(G)$ is the connectivity of $G$. Sabidussi showed that $κ(G\Box H) \geq κ(G)+κ(H)$ for any two connected graphs $G$ and $H$. In this paper, we first study the 3-connectivity of the Cartesian product of a graph $G$ and a tree $T$, and show that $(i)$ if $κ_3(G)=κ(G)\geq 1$, then $κ_3(G\Box T)\geq κ_3(G)$; $(ii)$ if $1\leq κ_3(G)< κ(G)$, then $κ_3(G\Box T)\geq κ_3(G)+1$. Furthermore, for any two connected graphs $G$ and $H$ with $κ_3(G)\geqκ_3(H)$, if $κ(G)>κ_3(G)$, then $κ_3(G\Box H)\geq κ_3(G)+κ_3(H)$; if $κ(G)=κ_3(G)$, then $κ_3(G\Box H)\geq κ_3(G)+κ_3(H)-1$. Our result could be seen as a generalization of Sabidussi's result. Moreover, all the bounds are sharp.

研究の動機と目的

• カルテシアン積グラフの一般化された3連結性の文脈において、サビドゥッシの古典的結果を拡張すること。
• 因子グラフ $G$ と $H$ の3連結性および標準的連結性に基づいて、$G\Box H$ の3連結性のタイトな下界を特定すること。
• 特に $G$ と $H$ の内部構造、特に $\kappa_3$ および $\kappa$ 値が、任意の3頂点を内部素で接続する木を用いた製品グラフの頑健性に与える影響を特定すること。

提案手法

• 著者は、$S$ を3頂点の集合とする内部素な $S$-木を定義・利用し、標準的頂点連結性を一般化して一般化された3連結性 $\kappa_3(G)$ を測定する。
• 彼らはメンジャーの定理およびパス分解技術を適用し、$T$ が木であるとき $\kappa(G) > \kappa_3(G)$ ならば $G\Box T$ に $k+1$ 個の内部素な木を構成する。$T$ の木構造を活用して、互いに素であることを保証する。
• 一般のグラフ $G$ と $H$ に対して、$G$ と $H$ からの木を結合することで、$G\Box H$ に $\kappa_3(G) + \kappa_3(H)$ または $\kappa_3(G) + \kappa_3(H) - 1$ 個の内部素な $S$-木を構成する。この際、製品内の共有頂点コピーを介して結合する。
• 証明では、3頂点 $x,y,z$ が製品グラフ内で異なるコピー内、2つの同じコピー内、または同じコピー内にあるかに応じたケース分析を用いる。
• 著者は再帰的構成技術を用い、各部分グラフ $G_{i} = G\Box T_i$ に $k_i - k_{i-1} + 1$ 個の互いに素な木を構築し、全体としてのグローバルな素性を保証する。
• 境界のタイトさは、明示的な構成と例（$K_n \Box P_m$ や例3.1に含まれる特定のグラフを含む）によって示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連結グラフ $G$ と $H$ に対して、$\kappa_3(G\Box H)$ の最小値は $\kappa_3(G)$, $\kappa_3(H)$, $\kappa(G)$, $\kappa(H)$ の関数としてどのように表されるか？
• RQ2 $\kappa(G)$ と $\kappa_3(G)$ の関係が、カルテシアン積 $G\Box H$ の3連結性に与える影響は何か？
• RQ3 サビドゥッシの不等式 $\kappa(G\Box H) \geq \kappa(G) + \kappa(H)$ を一般化し、カルテシアン積グラフの一般化された3連結性を下から抑え込む方法は存在するか？
• RQ4 何の条件下で $\kappa_3(G\Box H) \geq \kappa_3(G) + \kappa_3(H)$ の境界がタイトであり、何の条件下で $\kappa_3(G\Box H) \geq \kappa_3(G) + \kappa_3(H) - 1$ が最良の境界となるか？

主な発見

• 任意の連結グラフ $G$ と木 $T$ に対して、$\kappa_3(G) = \kappa(G) \geq 1$ ならば $\kappa_3(G\Box T) \geq \kappa_3(G)$ であり、$1 \leq \kappa_3(G) < \kappa(G)$ ならば $\kappa_3(G\Box T) \geq \kappa_3(G) + 1$ である。両境界はタイトである。
• 一般の連結グラフ $G$ と $H$ に対して $\kappa_3(G) \geq \kappa_3(H)$ ならば、$\kappa(G) > \kappa_3(G)$ のとき $\kappa_3(G\Box H) \geq \kappa_3(G) + \kappa_3(H)$ であり、この境界はタイトである。
• $\kappa(G) = \kappa_3(G)$ のとき、$\kappa_3(G\Box H) \geq \kappa_3(G) + \kappa_3(H) - 1$ であり、この境界もまたタイトである。
• $\kappa_3(G\Box H) \geq \kappa_3(G) + \kappa_3(H)$ の境界は、$K_n \Box P_m$ の場合に等号で成立する。ここで $\kappa_3(K_n) = n-2$, $\kappa_3(P_m) = 1$, そして $\kappa_3(K_n \Box P_m) = n-1$ である。
• 内部素な木の構成は、$H$ の $\ell$ 個の内部素な $\{v_1,v_2,v_3\}$-木 $T_i$ を用いて製品を部分グラフ $G\Box T_i$ に分解することに依存し、$G(v_1), G(v_2), G(v_3)$ の共有頂点集合を通じて素性を保証する。
• 本稿は、明示的な例（$K_n \Box P_m$ および例3.1）を通じて境界がタイトであることを確認しており、両ケースで等号が達成可能であることを示している。