[論文レビュー] The generalized Berger-Wang formula and the spectral radius of linear cocycles

Ian D. Morris|ArXiv.org|Jun 16, 2009

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 14被引用数 22

ひとこと要約

本稿は、バナッハ空間上の有界線形作用素の合同スペクトル半径に関する一般化されたベルジャ＝ワングの公式を、乗法的エルゴディック理論を用いて確立する。合同スペクトル半径が、スペクトル半径と非コンパクト性のハウスドルフ測度半径の最大値に等しいことを証明し、さらに、有限ランク近似ノルムに基づくスペクトル半径が、ハウスドルフ測度の非コンパクト性に基づくスペクトル半径に等しいことを示している。

ABSTRACT

Using multiplicative ergodic theory we prove two formulae describing the relationships between different joint spectral radii for sets of bounded linear operators acting on a Banach space. In particular we recover a formula previously proved by V. S. Shulman and Yu. V. Turovski\uı using operator-theoretic ideas. As a byproduct of our method we answer a question of J. E. Cohen on the limiting behaviour of the spectral radius of a measurable matrix cocycle.

研究の動機と目的

• 古典的ベルジャ＝ワングの公式をバナッハ空間上の有界線形作用素へ拡張し、行列の場合の一般化を行う。
• 無限次元設定における、合同スペクトル半径と作用素積のスペクトル半径との関係を確立する。
• J. E. コーエンが提起した、可測行列コサイクルのスペクトル半径の極限挙動に関する問題を解決する。
• 有限ランク近似ノルムに基づく合同スペクトル半径が、ハウスドルフ測度の非コンパクト性に基づくスペクトル半径に等しいことを証明する。

提案手法

• 無限個の作用素の列の空間上の記号的力学系上での、劣加コサイクルを分析するために乗法的エルゴディック理論を用いる。
• 劣加エルゴディック定理を適用し、合同スペクトル半径をコサイクルのリャプノフ指数として導出する。
• 一般化されたクリーロフ＝ボゴリューボフ定理を用いて、コンパクトな積空間上での不変測度の存在を保証する。
• 不変測度上のリャプノフ指数の上界を用いて、一般化されたベルジャ＝ワングの公式を導出する。
• 劣加関数列に関する定理3.1を適用し、作用素ノルムの上界を不変測度上の積分と関連付ける。
• ハウスドルフ測度の非コンパクト性と有限ランク近似ノルムの間の不等式を用いて、二つのスペクトル半径の等価性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的ベルジャ＝ワングの公式は、バナッハ空間上の有界線形作用素へ拡張可能か？
• RQ2 合同スペクトル半径、作用素積のスペクトル半径、非コンパクト性測度に基づくスペクトル半径との関係は何か？
• RQ3 有限ランク近似ノルムに基づくスペクトル半径は、ハウスドルフ測度の非コンパクト性に基づくスペクトル半径に等しいか？
• RQ4 J. E. コーエンが考察した、可測行列コサイクルのスペクトル半径の極限挙動は何か？
• RQ5 無限次元設定において、一般化ベルジャ＝ワングの公式が成り立つ条件は何か？

主な発見

• バナッハ空間上の有界線形作用素の前コンパクト集合の合同スペクトル半径は、作用素積のスペクトル半径と、ハウスドルフ測度の非コンパクト性に基づくスペクトル半径の最大値に等しい。
• 前コンパクト作用素集合に対しては、有限ランク近似ノルムに基づくスペクトル半径が、ハウスドルフ測度の非コンパクト性に基づくスペクトル半径に等しい。
• 証明により、J. E. コーエンが提起した、可測行列コサイクルのスペクトル半径の極限挙動に関する問題が解決された。
• 前コンパクト作用素集合に対して、一般化ベルジャ＝ワングの公式は条件なしに成立し、従来の条件付き結果を拡張する。
• 本手法により、コンパクトな準零作用素の半群が非自明な不変部分空間を有することを示すツロフスキーの定理の短い証明が得られる。
• 反例により、作用素集合が有界ではあるが前コンパクトでない場合には、一般化された公式が成立しない可能性があることが示された。