[論文レビュー] The generalized Franchetta conjecture for some hyper-Kähler varieties

Lie Fu, Robert Laterveer+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 23被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、低次数のK3表面のヒルベルト平方、立方四次超曲面のラインのファノ多様体、およびレーヌ＝レーヌ＝ゾルジャー＝ヴァン・ストラテンのハイパーカラビ＝ヤウ8次元多様体を含む、いくつかのハイパーカラビ＝ヤウ多様体の族に対して一般化されたフランチェッタ予想を確立する。代数的サイクルが一般ファイバー上でホモロジカルに自明であるならば、それらは有理同値でゼロに同値であることを証明し、予想に対する強い証拠を提供するとともに、ブルア＝ヴォジン予想およびヴォジン予想への帰結を導出する。

ABSTRACT

The generalized Franchetta conjecture for hyper-Kähler varieties predicts that an algebraic cycle on the universal family of certain polarized hyper-Kähler varieties is fiberwise rationally equivalent to zero if and only if it vanishes in cohomology fiberwise. We establish Franchetta-type results for certain low (Hilbert) powers of low degree K3 surfaces, for the Beauville--Donagi family of Fano varieties of lines on cubic fourfolds and its relative square, and for $0$-cycles and codimension-$2$ cycles for the Lehn--Lehn--Sorger--van Straten family of hyper-Kähler eightfolds. We also draw many consequences in the direction of the Beauville--Voisin conjecture as well as Voisin's refinement involving coisotropic subvarieties. In the appendix, we establish a new relation among tautological cycles on the square of the Fano variety of lines of a smooth cubic fourfold and provide some applications.

研究の動機と目的

• 特定のハイパーカラビ＝ヤウ多様体の族に対して一般化フラヌチェッタ予想を検証すること。ここで、一般ファイバー上でホモロジカルに自明なサイクルが有理同値でゼロに同値であることを対象とする。
• フラヌチェッタ性質を通じて、コイソトロピック部分多様体を含むブルア＝ヴォジン予想の改良版に対する証拠を提供すること。
• 立方四次超曲面のラインのファノ多様体のチャウ環における新しいタウトロジカル関係を確立すること、特にその自己積において。
• チャウ–キュンネット射影子と小さな対角対応の相互作用を通じて、チャウ環の乗法的構造を探索すること。
• 特にユニバーサル族の文脈において、相対的ハイパーカラビ＝ヤウ多様体族への既知のタウトロジカルサイクルの結果を拡張すること。

提案手法

• デリーニ–マクマーフォードスタックの文脈における、有理係数を用いたチャウ群理論とユニバーサルサイクルの概念を用いる。
• フラヌチェッタ性質の概念を適用する：あるサイクルが非常に一般なファイバー上でホモロジカルに自明であれば、すべてのファイバー上で有理的自明である。
• ブルア＝ヴォジン類とリーマン各論分解を用いたチャウ環のビグレード分解を用いる。
• 既知のブルア＝ヴォジン予想のケースと、ラインのファノ多様体のチャウ環におけるタウトロジカル関係を活用する。
• ユニバーサルに定義されたサイクルの概念を適用し、ホモロジカルに自明でかつユニバーサルに定義されたサイクルが、一般化フラヌチェッタ予想を通じて有理的自明であることを示す。
• チャウ–キュンネット射影子とその相互作用を通じて、チャウ環分解の乗法的性質を証明するため、小さな対角対応を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 低次数の完全交差K3表面のヒルベルト平方に対して、一般化フラヌチェッタ予想は成り立つか？
• RQ2 立方四次超曲面のラインのファノ多様体に対して、チャウ環のビグレード分解は乗法的か？
• RQ3 立方四次超曲面のラインのユニバーサルファノ多様体の相対的平方および立方に対して、フラヌチェッタ性質を確立できるか？
• RQ4 一般化フラヌチェッタ予想は、ハイパーカラビ＝ヤウ多様体のブルア＝ヴォジン予想の一部を含意するか？
• RQ5 立方四次超曲面のラインのファノ多様体のチャウ環に新たなタウトロジカル関係は存在するか？ そしてそれらは乗法的構造にどのような影響を与えるか？

主な発見

• 完全交差K3表面（次数2, 4, 6）のヒルベルト平方に対して、一般化フラヌチェッタ予想は成立する。
• 非常に一般な立方四次超曲面のラインのファノ多様体 $F$ に対して、チャウ環は乗法的ビグレードを備え、包含関係 $\mathop{\rm CH}\nolimits^{1}(F)\cdot\mathop{\rm CH}\nolimits^{2}(F)_{(0)} \subseteq \mathop{\rm CH}\nolimits^{3}(F)_{(0)}$ が今や証明された。
• ハイパーサーフェス切断に関連する対応の自己交差から生じる、$\mathop{\rm CH}\nolimits^{5}(F\times F)$ における新しいタウトロジカル関係が確立された。
• 立方四次超曲面のラインのユニバーサルファノ多様体の相対的平方に対してフラヌチェッタ性質が確立され、特定のサイクルの有理的自明性が示された。
• 一般化フラヌチェッタ予想は、ハイパーカラビ＝ヤウ多様体のブルア＝ヴォジン予想の一部（チャーン類と極化のみを含む部分）を含意する。
• 立方四次超曲面のラインのファノ多様体のチャウ環の乗法的構造は、部分的に理解されるようになったが、未解決の関係 (18) が残っている。