[論文レビュー] The generalized gamma functions

Tran Gia Loc, Trinh Duc Tai|arXiv (Cornell University)|May 30, 2011

Functional Equations Stability Results参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、正の多項式 f(t) に関連付けられた一般化されたガンマ関数 Γ_f(s) を、∫₀^∞ f(t)^{s-1} e^{-t} dt で定義する。f(t) = t^k（単項式）の場合、Γ_f(s) が関数方程式 Γ_f(s+1) = B(s)Γ_f(s) を満たすことを証明し、B(s) は f のバーナイン・サト多項式である。これは、オイラーのガンマ関数が満たす関数方程式を、より広い関数のクラスへと拡張するものである。

ABSTRACT

In this paper, we introduce a way to generalize the Euler's gamma function as well as some related special functions. With a given polynomial in one variable $f(t)\ge 0$, we can associate a function, so-called "gamma function associated with $f$", defined by $Γ_f(s) := \int_0^\infty f^{s-1} e^{-t} dt$. This function has many features similar to the Euler's gamma function. We also present some initial results on the gamma-type functional equation for $Γ_f(s)$ in some special cases.

研究の動機と目的

• 正の多項式 f(t) を用いた積分変換によって、オイラーのガンマ関数を一般化すること。
• 一般化されたガンマ関数 Γ_f(s) が、Γ(s+1) = sΓ(s) に類似した関数方程式を満たすかどうかを調査すること。
• 関数方程式の係数としてのバーナイン・サト多項式の役割を検討すること。
• f(t) に関連するゼータ関数およびベータ関数の理論を拡張し、それらの性質を検討すること。
• 非単項式多項式、特に二次の場合に、関数方程式に関する予想を検証すること。

提案手法

• f(t) ≥ 0 かつ t > 0 のもとで、一般化されたガンマ関数を Γ_f(s) = ∫₀^∞ f(t)^{s-1} e^{-t} dt として定義する。
• ラプラス変換の技法と微分作用素を用いて、Γ_f(s) の関数方程式を導出する。
• 微分作用素 P と多項式 B(s) が P(f^s) = B(s)f^{s-1} を満たすように、バーナイン・サト多項式を構成する。
• f(t) = t^k の場合、関数方程式 Γ_f(s+1) = B(s)Γ_f(s) が成り立ち、B(s) = ks(ks-1)⋯(ks-k+1) であることを示す。
• 部分積分と漸近解析を用いて、極限表現と解析接続を導出する。
• 級数および積分表現を用いて関連するゼータ関数およびベータ関数を構成し、古典的ゼータ関数およびベータ関数と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化されたガンマ関数 Γ_f(s) は、多項式 B(s) を用いた形式 Γ_f(s+1) = B(s)Γ_f(s) の関数方程式を満たすか？
• RQ2 f(t) のバーナイン・サト多項式が、このような関数方程式における正しい係数 B(s) であるか？
• RQ3 f(t) に関連する一般化されたゼータ関数およびベータ関数は、それらの古典的対応物とどのように関係するか？
• RQ4 Γ_f(s) の関数方程式は単項式を超えて拡張可能か？一般の多項式におけるその次数は何か？
• RQ5 非単項式 f(t) の場合、Γ_f(s) の解析的構造（極、メロモーマーフィック続行）はいかなるものか？

主な発見

• f(t) = t^k の場合、一般化されたガンマ関数は Γ_{t^k}(s+1) = B(s)Γ_{t^k}(s) を満たし、B(s) = ks(ks-1)⋯(ks-k+1) である。これは、バーナイン・サト多項式による関数方程式の正しさを確認する。
• 一般化されたガンマ関数は、Corollary 5.1 で示されるように、B(s+k) = 0 を満たす s において極を持つメロモーフィック続行を許容する。
• f(t) = t^k に関連するゼータ関数は、ζ_{t^k}(s)Γ_{t^k}(s) = Γ_{t^k}(s)ζ(k(s-1)+1) を満たし、リーマンゼータ関数と関連づけられる。
• f(t) = t^2 + bt + c の二次多項式の場合、関数方程式は2階であり、式 (3) の1階形式に還元できない。これは一般の予想を否定する。
• f(t) = t^k の場合、関連するベータ関数は B_{t^k}(p,q) = (kpq)/(p+q) ⋅ B(p+q)/[B(p)B(q)] ⋅ B(kp,kq) で与えられ、古典的ベータ関数を一般化する。
• f(t) = t^2 + bt + c の反例により、Γ_f(s) の関数方程式が常に1階ではないことが示され、その次数は f の次数によって上限を持つことが示唆される。