[論文レビュー] The Generalized $K$-Wright Function and Marichev-Saigo-Maeda Fractional Operators

Kuldeep Kumar Kataria, P. Vellaisamy|arXiv (Cornell University)|Aug 17, 2014

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 11被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、一般化された $K$-Wright 関数 ${}_{p}\tilde{\Psi}_{q}^{k}$ にマリシェフ＝サイゴ＝マエダの分数階積分およびキャプート型微分作用素を適用した明示的公式を導出する。これらの作用素は関数をより高階の一般化 $K$-Wright 関数 ${}_{p+3}\tilde{\Psi}_{q+3}^{k}$ に変換する。これは、Wright 関数およびMittag-Leffler 関数に対する既知の結果を拡張する。主な貢献は、核にアペルの $F_3$ 関数を含む分数階微積分の統一的枠組みを提供することにある。

ABSTRACT

In this paper, the generalized fractional operators involving Appell's function $F_3$ in the kernel due to Marichev-Saigo-Maeda are applied to the generalized $K$-Wright function. These fractional operators when applied to power multipliers of the generalized $K$-Wright function ${}_{p}Ψ^k_q$ yields a higher ordered generalized $K$-Wright function, namely, ${}_{p+3}Ψ^k_{q+3}$. The Caputo-type modification of Marichev-Saigo-Maeda fractional differentiation is introduced and the corresponding assertions for Saigo and Erdélyi-Kober fractional operators are also presented. The results derived in this paper generalize several recent results in the theory of special functions.

研究の動機と目的

• 既存の特殊関数に関する分数階微積分の結果を一般化 $K$-Wright 関数に拡張すること。
• アペルの $F_3$ 関数を用いて定義されるマリシェフ＝サイゴ＝マエダの分数階作用素が一般化 $K$-Wright 関数に与える作用を調査すること。
• マリシェフ＝サイゴ＝マエダの分数階微分作用素のキャプート型修正を導入し、その性質を分析すること。
• リーマン＝リウヴィル、エルドリー＝コッバー、サイゴの分数階作用素に関する既知の結果を、一般化 $K$-Wright 関数の文脈で統一的かつ拡張すること。

提案手法

• 一般化 $K$-Wright 関数 ${}_{p}\tilde{\Psi}_{q}^{k}$ は $k$-ガンマ関数 $\Gamma_k(z)$ を用いて定義され、古典的 Wright 関数を一般化する。
• マリシェフ＝サイゴ＝マエダの分数階積分および微分作用素が、一般化 $K$-Wright 関数のべき乗倍形式 $t^{-\rho/k}{}_{p}\tilde{\Psi}_{q}^{k}(a t^{-\mu/k})$ に適用される。
• 作用素の核にはアペル関数 $F_3$ が含まれており、超幾何関数および退化超幾何関数を含む一般化された構造を可能にする。
• キャプート型修正は、分数階積分の後に微分を適用することで導入され、多項式に対して微分が消えることを保証する。
• 結果は $\Gamma_k(z)$ の積分表現、恒等式 $\Gamma_k(z) = k^{z/k - 1} \Gamma(z/k)$、および作用素の項別適用による級数展開を用いて導出される。
• 最終的な式は、作用素の作用を反映したパラメータを有するより高階の一般化 $K$-Wright 関数 ${}_{p+3}\tilde{\Psi}_{q+3}^{k}$ の形に再表現される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マリシェフ＝サイゴ＝マエダの分数階作用素は、一般化 $K$-Wright 関数をどのように変換するか？
• RQ2 べき乗法的係数を乗じた一般化 $K$-Wright 関数に対するキャプート型微分の効果は何か？
• RQ3 結果がサイゴ型やエルドリー＝コッバー型作用素の特殊化として還元される条件は何か？
• RQ4 一般化 $K$-Wright 関数は、分数階微積分の結果を統一的に扱う特殊関数として機能できるか？
• RQ5 一般化 $K$-Wright 関数が分数階作用素に対して不変のままである条件は何か？

主な発見

• 関数 $t^{-\rho/k}{}_{p}\tilde{\Psi}_{q}^{k}(a t^{-\mu/k})$ のマリシェフ＝サイゴ＝マエダの分数階積分は、パラメータが変更されたより高階の一般化 $K$-Wright 関数 ${}_{p+3}\tilde{\Psi}_{q+3}^{k}$ をもたらす。
• 同様の関数に対するキャプート型微分は、$\alpha, \alpha', \beta, \beta', \gamma, \rho, \mu$ を含む項でシフトされたパラメータを持つ ${}_{p+2}\tilde{\Psi}_{q+2}^{k}$ をもたらす。
• エルドリー＝コッバーの場合（$\beta = 0$）には、結果は ${}_{p+1}\tilde{\Psi}_{q+1}^{k}$ に還元され、既知の作用素の特殊化と整合性が確認される。
• キルバス（2004年）による一般化 Wright 関数に関する先行研究およびゲルホト＆プレジャパティ（2014年）による一般化 $K$-Wright 関数に関する研究を一般化する。
• 変換は、$\Delta > -1$ の条件下で解析的構造を保ち、得られる級数の収束を保証する。
• $\Gamma_k(z)$ および $k$-ポッホハマー記号の使用により、古典的分数階微積分の $k$-変形が可能となり、$k=1$ を極限として含む。