[論文レビュー] The generating function of amplitudes with N twisted and M untwisted states

Igor Pesando|arXiv (Cornell University)|Jul 27, 2011

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 13被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、2次元時空における磁場を持つ磁化D-brane上に存在するN個のねじれ状態とM個の非ねじれ状態のストリング振幅の生成関数を導出する。演算子-状態対応と非励起ねじれ状態の既知の相関関数を用い、補助ヒルベルト空間上の量子場と境界グリーン関数を通じて、全振幅を構成する。その結果、(式32–33)に示されるコンactな関数的表現が得られ、曲がった時空やゲージ場の背景における励起状態のレッジオン頂点を一般化する。

ABSTRACT

We show that the generating function of all amplitudes with N twisted and M untwisted states, i.e. the Reggeon vertex for magnetized branes on R^2 can be computed once the correlator of N non excited twisted states and the corresponding Green function are known and we give an explicit expression as a functional of the these objects

研究の動機と目的

• 2次元時空における磁場を持つ磁化D-brane上に存在するN個の励起ねじれ状態とM個の非ねじれ状態の振幅の生成関数を計算すること。
• すべてのこのような振幅を計算するために必要な最小限の入力データ——特に、N個の非励起ねじれ状態の完全相関関数と境界グリーン関数——を特定すること。
• 各ねじれ挿入点に補助ヒルベルト空間上に定義された量子場演算子を用いた、励起ねじれ状態を体系的に取り扱う方法を確立すること。
• 上半平面における磁場の存在下で、励起ねじれ状態を含むレッジオン頂点形式を一般化すること。
• グリーン関数の特異極限が既知の結果を再現することを確認することで、演算子形式との整合性を保証すること。

提案手法

• 磁場の存在下での経路積分的手法に依拠し、励起ねじれ状態を補助ヒルベルト空間上に定義された量子場を用いて演算子-状態対応でラベルづけする。
• 各ねじれ挿入点 $ x_t $ に対して、別個のヒルベルト空間 $ \mathcal{H}_t $ 上に量子場 $ Z_{(t)}(z,\bar{z}) $, $ \bar{Z}_{(t)}(z,\bar{z}) $ を定義し、磁場フラックスによって決定される位相 $ \gamma_t $ を含むモード展開を用いる。
• 境界グリーン関数 $ G^{ij}_{bou}(x;y) $ は、バルク相関関数 $ \langle X^i(z,\bar{z}) X^j(w,\bar{w}) \sigma_{\epsilon} \rangle / \langle \sigma_{\epsilon} \rangle $ を実境界座標に制限することで導出される。
• 生成関数は補助変数の展開を用い、$ \prod_{t} $, $ \prod_{a<b} $, および $ \prod_{t<u} $ 項から構成され、それぞれ振幅内の異なる物理的および解析的構造を符号化する。
• ねじれ挿入点付近の発散するグリーン関数の正則化は、2つのねじれのみを含む参照グリーン関数（$ x_0 $ と $ x_\infty $ にそれぞれ1つずつ）を差し引くことで達成され、有限で定義されたオペレーター積極限を保証する。
• 最終的な生成関数（式32–33）は、ねじれ挿入点とペアワイズ相互作用の和の指数関数として表現され、ねじれパラメータ $ \epsilon_t $, 位相 $ \gamma_t $, 境界グリーン関数に明示的な依存性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、$ \mathbb{R}^2 $ 上の磁場を伴う状況下で、N個の励起ねじれ状態とM個の非ねじれ状態の振幅の生成関数を体系的に計算できるか？
• RQ2 すべてのこのような振幅を再構成するために十分な最小限のデータ——具体的には、どの相関関数とグリーン関数か——は何か？
• RQ3 磁場フラックスの存在下で、励起ねじれ状態に関連する量子場は、演算子-状態対応においてどのように変換されるか？
• RQ4 ねじれ挿入点付近での境界グリーン関数の特異挙動を、有限な振幅が得られるように一貫して正則化できるか？
• RQ5 非励起状態の極限または磁場の不在の極限において、導出された生成関数は既知の結果に還元されるか？

主な発見

• N個のねじれ状態とM個の非ねじれ状態の振幅の生成関数は、N個の非励起ねじれ状態の完全相関関数と、それらの存在下での境界グリーン関数によって完全に決定される。
• 主要な結果は、式(32)と(33)に示される生成関数の明示的関数的形であり、個々のねじれ挿入点、ペアワイズ相互作用、および相関の寄与を統合する。
• 生成関数内の $ \prod_t $ 項は正則化のおかげで非自明ではあるが有限である：$ x,y \to x_t $ で $ G^{z\bar{z}}_{bou,\text{reg}(t)} \to 0 $ となるため、振幅の有限性が保証される。
• $ \prod_{t<u} $ 項は、$ d_{(t)0} = \bar{d}_{(t)0} $ のとき $ x_t \to x_u $ の極限で消える。これは境界グリーン関数の漸近的挙動と整合的である。
• $ \prod_{a<b} $ 項は、演算子積展開から自然に生じ、共形場理論における相関関数の標準的構造と一致する。
• 正則化手順により、生成関数が $ x,y \to x_t $ の極限で演算子形式を正しく再現することが保証され、既知の結果と整合的であることが確認された。