[論文レビュー] The Generating Functions Enumerating 12..d-Avoiding Words with r occurrences of each of 1,2, ... , n are D-finite for all d and all r

Shalosh B. Ekhad, Doron Zeilberger|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2014

semigroups and automata theory参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、1 から n の各文字を r 回ずつ含む 12...d-回避語を数える母関数が、すべての d および r に対して D-有限であることを証明している。これは d=3 の場合に先行して得られた代数的母関数の結果を一般化するものである。RSK対応および正則関数論を用いて、数え上げ列の P-再帰性を確立し、項および再帰式を生成するための計算ツールを提供している。また、漸近公式に関する予想と、r > 1 の場合の一般化された Gessel 行列式についても提示している。

ABSTRACT

In this article, dedicated with admiration and gratitude to guru Neil Sloane on his 75-th birthday, we observe that the generating functions for multi-set permutations that do not contain an increasing subsequence of length d, and where every letter appears the same number of times, say r, are always D-finite, (for every d and every r), and we actually crank out the first few terms of quite a few of them, many of whom are not yet in the OEIS. We also state a conjectured asymptotic formula for these sequences, that reduces to Amitai Regev's famous formula when r=1, and pledge a 100 dollar donation to the OEIS in honor of the first one to prove our conjecture. We pledge another 100 dollars for extending Ira Gessel's spectacular Bessel determinant, from the r=1 case to general r.

研究の動機と目的

• 1 から n の各文字を r 回ずつ含む 12...d-回避語の母関数が、すべての d および r に対して D-有限であることを確立すること。
• r=1 の場合に Regev が得た漸近公式を一般化し、定数 C_{r,d} を含む正確な漸近形を予想すること。
• r=1 の場合に Gessel が得た行列式公式を、各文字を r 回ずつ含む多重集合置換の母関数へ一般化すること。
• 数列、再帰式、漸近的性質を生成するための計算ツールとデータを提供すること。これらの中には、まだ OEIS に登録されていないものも多い。

提案手法

• RSK対応を適用し、A_{d,r}(n) を分割 λ に関する和 ∑ f_λ g^{(r)}_λ として表現。ここで f_λ は標準ヤン・テーブルックスの個数、g^{(r)}_λ は各文字を r 回ずつ含む列厳密テーブルックスの個数である。
• ホック長公式を用いて f_λ を離散的パラメータ λ_i に関して閉形式で表現。これは正則的関数である。
• 固定された r および d に対して、g^{(r)}_λ が λ に関して正則的であることを示す。これは、その母関数が x_1,…,x_d に関する有理形式的べき級数であるためである。
• 正則的関数の一般論を用いて、固定された d および r に対して A_{d,r}(n) が P-再帰的（多項式係数の線形再帰を満たす）であることを導出する。
• Maple の SLOANE75 および NEIL パッケージを用いた記号計算により、初期項を計算し、再帰式を経験的に予想する。
• 漸近的成長および Gessel の r=1 の場合の類似する一般化された行列式公式に関する予想を提示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1 から n の各文字を r 回ずつ含む 12...d-回避語の母関数が、すべての d ≥ 4 およびすべての r ≥ 1 に対して D-有限であるか？
• RQ2 r=1 の場合に Regev が得た 1...d-回避置換の漸近公式を r > 1 に一般化できるか？また、定数 C_{r,d} の正確な形は何か？
• RQ3 r=1 の場合に Gessel が得た行列式式と類似する表現が、各文字を r 回ずつ含む 1...d-回避語の母関数に対して存在するか？
• RQ4 数列 A_{d,r}(n) の P-再帰的性質を計算的に確認し、項および再帰式を効率的に生成するために活用できるか？

主な発見

• 1 から n の各文字を r 回ずつ含む 12...d-回避語を数える数列 A_{d,r}(n) は、固定された d および r に対して P-再帰的である。これは、RSK の成分 f_λ および g^{(r)}_λ が正則的であるためである。
• d=3 かつ r ≤ 4 の場合、生成関数は代数的である（Shar および Zeilberger が以前に示した）。しかし d ≥ 4 かつ r ≥ 1 の場合、生成関数は D-有限ではあるが代数的ではない。
• A_{d,r}(n) の漸近的成長は、C_{r,d} · ((d+r-2 choose d-2)(d-1)^r)^n / n^{((d-1)^2 -1)/2} の形をとると予想されている。この予想の証明には 100 ドルの賞金がかけられている。
• Gessel の r=1 の結果を一般化した行列式公式を、r > 1 に拡張するものとして、同様の公式が存在するかどうかを示すための 100 ドルの賞金がかけられている。
• 著者らは、多くの場合について計算ツール（SLOANE75 および NEIL）とデータを提供しており、これらの中にはまだ OEIS に登録されていないものも多い。また、線形再帰式および正確な漸近的性質を含んでいる。
• 本稿では、A_{d,r}(n) の母関数がすべての d および r に対して D-有限であることが確認された。これは、Zeilberger が 1990 年に置換（r=1）に対して得た結果を多重集合の場合に一般化したものである。