[論文レビュー] The generation problem in Thompson group $F$

Gili Golan|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2016

Geometric and Algebraic Topology参考文献 27被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、スティルリングス2コア——自由群のスティルリングスコアの2次元版——を導入することで、トンプソン群Fにおける生成問題が決定可能であることを確立する。この構造を用いて、有限個の元の集合が群F全体を生成するかどうかを判定するアルゴリズムを構築し、その方法を用いて、dyadic rationalsへの部分群作用の推移性や、無限大指数の新しい最大部分群の構成といった関連問題を解く。

ABSTRACT

We show that the generation problem in Thompson group $F$ is decidable, i.e., there is an algorithm which decides if a finite set of elements of $F$ generates the whole $F$. The algorithm makes use of the Stallings $2$-core of subgroups of $F$, which can be defined in an analogue way to the Stallings core of subgroups of a finitely generated free group. Further study of the Stallings $2$-core of subgroups of $F$ provides a solution to another algorithmic problem in $F$. Namely, given a finitely generated subgroup $H$ of $F$, it is decidable if $H$ acts transitively on the set of finite dyadic fractions $\mathcal D$. Other applications of the study include the construction of new maximal subgroups of $F$ of infinite index, among which, a maximal subgroup of infinite index which acts transitively on the set $\mathcal D$ and the construction of an elementary amenable subgroup of $F$ which is maximal in a normal subgroup of $F$.

研究の動機と目的

• トンプソン群Fの有限部分集合が群F全体を生成するかどうかを判定すること。
• Fにおいて未解決のままの関連群（例：F₂×F₂）とは異なり、生成問題に対するアルゴリズム的解決を提供すること。
• スティルリングスコア構成を図式群へ拡張し、Fの部分群に対する2次元版としてのスティルリングス2コアを導入すること。
• 推移性問題の解決：有限生成部分群H ≤ Fが有限dyadic分数の集合Dに推移的に作用するかどうかを決定すること。
• 無限大指数の最大部分群を新たに構成すること。特に、Dに推移的に作用するものと、正規部分群内で最大でかつ初等的アーベル的なものを含む。

提案手法

• 部分群H ≤ Fのスティルリングス2コアL(H)を、Hに属する図式を受け入れる（およびそれ以上の図式も受け入れる可能性がある）有向2複体として定義する。
• L(H)が受理するすべての図式からなる部分群をCl(H)として構成する。このCl(H)はHを含み、閉包性質を満たす。
• コアL(H)における経路構造の解析を用いて、Hが有限dyadic分数の集合Dに推移的に作用するかどうかを判定する。
• Tuplesアルゴリズムを適用してCl(H)の生成集合を計算し、生成問題を「Fの生成元がCl(H)に属するか否か」の判定に還元する。
• 自明な語に対する図式群とFとの同型を用いて、要素を正負の細胞を持つ平面図式として表現する。
• 有限コアに関連する有向2複体と半群提示の構造を活用し、閉包性と有限生成性を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限個の要素の部分集合がトンプソン群F全体を生成するかどうかは決定可能か？
• RQ2 有限生成部分群H ≤ Fが有限dyadic分数の集合Dへの作用をアルゴリズム的に決定可能か？
• RQ3 Dに推移的に作用する無限大指数の最大部分群が存在するか？
• RQ4 有限生成部分群H ≤ Fの閉包は常に有限生成か。特に、スティルリングス2コアが有限の場合に成り立つか？
• RQ5 正規部分群内で最大で、初等的アーベルなFの新しい最大部分群を構成可能か？

主な発見

• トンプソン群Fにおける生成問題は決定可能であり、スティルリングス2コア構成を用いた明示的なアルゴリズムが提供される。
• 有限生成部分群H ≤ Fが有限dyadic分数の集合Dへの作用は、Hのスティルリングス2コアにおける経路解析により決定可能である。
• Dに推移的に作用する無限大指数の新しい最大部分群が構成され、点を固定するもの以外のこのような部分群の存在が示された。
• 正規部分群内で最大で、初等的アーベルなFの部分群が構成され、これにより新たな最大部分群のクラスが得られた。
• スティルリングス2コアL(H)が有限であれば、有限生成部分群H ≤ Fの閉包は有限生成であることが証明され、特に可解群および初等的アーベル群の場合は成り立つ。
• 本稿では、Z≀Zに同型な部分群がFにおいて閉包であることが示され、Fの有限生成で閉包ではあるが、有限提示でない部分群の例が得られた。