[論文レビュー] The generators and relations picture of $KK$-theory

Bernhard Burgstaller|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2016

Advanced Operator Algebra Research参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、*-準同型および合成逆元の形式的和・積を用いた、KasparovのKK理論の新しい、基本的な生成子と関係式による定式化を提示する。この定式化により、GK理論と呼ばれる圏が構成される。主な結果は、可分なC*-代数に対しては、GK理論が標準的KK理論と同型であり、Kasparov積が圏内の合成として自然に現れることであり、これは群や半群作用を伴う代数のより広範なカテゴリーに適用可能な簡素で普遍的な定義を提供する。

ABSTRACT

This is half an overview article since what we describe here is essentially known. We describe $KK$-theory by generators and relations in a formal sum of formal products of $*$-homomorphisms and some synthetical morphisms. What comes out is a category. The Kasparov product is then just the composition of morphisms. This description may be interesting to anyone who wants a quick and elementary definition of $KK$-theory. The description could also be used for other categories of algebras than $C^*$-algebras endowed with group actions, for example, $C^*$-algebras equipped with an action by a semigroup, a category et cetera.

研究の動機と目的

• 生成子と関係式を用いた、KK理論の新しい、基本的で普遍的な定義を提供すること。
• Kasparovの元々の構成における技術的複雑性を、圏の中でKasparov積が自然な合成として埋め込まれることで簡略化すること。
• 群作用に限らない、半群や圏の作用を伴う他の代数のカテゴリーへもこの枠組みを拡張すること。
• 可分なC*-代数に対して、GK理論の圏が標準的KK理論と同型であることを示すこと。
• 安定性、ホモトピー不変性、分解完全性の普遍的性質が、生成子と関係式による構成から自然に生じることを示すこと。

提案手法

• 生成子として*-準同型と合成逆元を用い、形式的積と和からなる自由圏を定義する。
• 安定性、ホモトピー不変性、分解完全性を、普遍的性質によって強制する形式的射の同値関係を導入する。
• KK理論の普遍的ファンクター的性質から導かれる関係によって、自由圏を quotient する形でGK理論を構成する。
• HigsonのKK理論の普遍的特徴付けを用いて、GK理論が同じ普遍的性質を満たすことを確立する。
• 可分なC*-代数に対して、普遍的ファンクターの一意性を用いて、GK理論が標準的KK理論と同型であることを証明する。
• 等変射を要請し、コンパクト作用素の代わりに適切な安定化代数を用いることで、この枠組みを他の代数のカテゴリーへ拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 KK理論は、基本的な圏論とC*-代数の概念のみを用いた、単純な生成子と関係式による提示から再構成可能か？
• RQ2 Kasparov積は、このような提示によって定義される圏における合成として自然に現れるか？
• RQ3 可分なC*-代数と群作用の組み合わせに対して、GK理論は標準的KK理論と同型か？
• RQ4 この生成子と関係式のアプローチは、半群、圏、その他の構造による作用を伴うC*-代数へ一般化可能か？
• RQ5 安定性、ホモトピー不変性、分解完全性の普遍的性質は、GK理論の構成における関係式から内因的に生じるか？

主な発見

• GK理論は、*-準同型と合成逆元の形式的和・積からなる射からなる圏であり、安定性、ホモトピー不変性、分解完全性を強制する関係を modulo として含む。
• Kasparov積はGK理論の射の合成として自然に実現され、別個の技術的定義を必要としない。
• 可分なC*-代数に対しては、GK理論は標準的KK理論と同型であり、両者とも同じ普遍的ファンクター的性質を満たす。
• この構成により、交差積構成を介して、等変KK理論から通常のKK理論への自然な降下準同型が得られる。
• 群作用に限らず、半群、圏、その他の作用へも、射が等変的であり、適切な安定化代数が用いられれば、この枠組みは一般化可能である。
• C*-代数の濃度が有界であるとき、GK理論の射類は集合となり、GK理論は実際に射の集合を持つ圏と同値である。