[論文レビュー] The Generic Critical Behaviour for 2D Polymer Collapse

Adam Nahum|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2015

Theoretical and Computational Physics被引用数 3

ひとこと要約

本論文は、2次元ポリマー $Θ$-点における臨界指数の普遍性に関する長年の論争を解決し、$χ^{N-1}$ シグマ模型の $N\to 1$ 限界において、非自己交叉ポリマーに対してDuplantier-Saleur (DS) 临界指数が頑健であることを示した。これらの指数は微調整なしに一般に出現するが、自己交叉が存在すると、追加の有効な摂動が生じ、$n=0$ における一般の三臨界 $\mathrm{O}(n)$ モデルに支配される異なる臨界的挙動に移行する。また、すべての $N$ に対して $\mathrm{CP}^{N-1}$ モデルに非自明な演算子の degeneracy が存在し、異なる対称性を持つ2つの演算子が同一のスケーリング次元を持つことが明らかになった。

ABSTRACT

The nature of the theta point for a polymer in two dimensions has long been debated, with a variety of candidates put forward for the critical exponents. This includes those derived by Duplantier and Saleur (DS) for an exactly solvable model. We use a representation of the problem via the $CP^{N-1}$ sigma model in the limit $N ightarrow 1$ to determine the stability of this critical point. First we prove that the DS critical exponents are robust, so long as the polymer does not cross itself: they can arise in a generic lattice model, and do not require fine tuning. This resolves a longstanding theoretical question. However there is an apparent paradox: two different lattice models, apparently both in the DS universality class, show different numbers of relevant perturbations, apparently leading to contradictory conclusions about the stability of the DS exponents. We explain this in terms of subtle differences between the two models, one of which is fine-tuned (and not strictly in the DS universality class). Next, we allow the polymer to cross itself, as appropriate e.g. to the quasi-2D case. This introduces an additional independent relevant perturbation, so we do not expect the DS exponents to apply. The exponents in the case with crossings will be those of the generic tricritical $O(n)$ model at $n=0$, and different to the case without crossings. We also discuss interesting features of the operator content of the $CP^{N-1}$ model. Simple geometrical arguments show that two operators in this field theory, with very different symmetry properties, have the same scaling dimension for any value of $N$ (equivalently, any value of the loop fugacity). Also we argue that for any value of $N$ the $CP^{N-1}$ model has a marginal parity-odd operator which is related to the loops' winding angle.

研究の動機と目的

• 2次元ポリマー $Θ$-点におけるDuplantier-Saleur (DS) 臨界指数が、一般の臨界的挙動を表すかどうかを解明すること。
• 同じ場理論的クラスに属する2つのモデルが、関連する摂動の数が異なるように見えるという、表面的矛盾を解明すること。
• ポリマーの自己交叉の有無にかかわらず、レノルム化群フローにおけるDS固定点の安定性を特定すること。
• $\mathrm{CP}^{N-1}$ モデルにおけるスケーリング次元 $x_4$ の演算子内容を分析すること、特に異なる対称性を持つが同一のスケーリング次元を持つ演算子の縮退を特定すること。

提案手法

• $N\to 1$ 限界における $\mathrm{CP}^{N-1}$ シグマ模型へのポリマー収縮問題の写像により、普遍性と安定性を分析する。
• レノルム化群解析を用いて関連する摂動の数を数え、DS固定点の頑健性を評価する。
• 格子モデルにおける対称性破れ摂動を、$\mathrm{SU}(N)$ 対称性を持つ場理論への写像によって分類する。
• 超対称性 (SUSY) 技法を用いて演算子の多重度を計算し、スケーリング次元 $x_4$ における演算子スペクトルの完全性を確認する。
• SUSY 形式における既約表現および分解不能表現の構造を分析し、異なる対称性量子数を持つが同一のスケーリング次元を持つ演算子の縮退を説明する。
• レプリカ形式とSUSY形式を比較することで、スケーリング次元が保存され、$x_4$ に追加の演算子が存在しないことを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元における一般の非自己交叉ポリマー・モデルでは、Duplantier-Saleur 臨界指数が頑健であるか、それらの実現に微調整が必要か？
• RQ2 同一の場理論的記述を持つ2つのモデルが、関連する摂動の数が異なるように見えるのはなぜか？ これは安定性に関する矛盾した結論を示唆している。
• RQ3 ポリマーの自己交叉を許容すると、$Θ$-点遷移の普遍性クラスおよび臨界指数はどのように変化するか？
• RQ4 $\mathrm{CP}^{N-1}$ モデルにおいて、異なる対称性を持つが同一のスケーリング次元を持つ2つの演算子の縮退は、どのように説明できるか？
• RQ5 $\mathrm{CP}^{N-1}$ モデルには、巻き数に関連するパリティ奇のマージナル演算子が存在するか？ そして、臨界挙動にどのような影響を及えるか？

主な発見

• Duplantier-Saleur 臨界指数は頑健であり、微調整なしに非自己交叉ポリマー・モデルにおいて一般に出現する。2次元における普遍性が確認された。
• 摂動数の表面的矛盾は、一方のモデルがイジング型の秩序パラメータにより $\mathrm{SU}(N)$ 全対称性が破られ、素朴な普遍性仮定が破綻するため生じる。
• ポリマーの自己交叉を許容すると、追加の独立した関連摂動が出現し、臨界挙動は $n=0$ における一般の三臨界 $\mathrm{O}(n)$ モデルに移行する。これはDS指数とは異なる。
• $\mathrm{CP}^{N-1}$ モデルにおける2つの演算子（対称性が異なるが）は、すべての $N$ に対して同一のスケーリング次元を持つ。これはSUSY形式における多重度の一致によって確認された。
• $N=1$ における $\mathrm{CP}^{N-1}$ モデルには、巻き数に関連するマージナルパリティ奇の演算子が存在し、これはレプリカ形式には存在しない可能性があり、臨界挙動に影響を与える可能性がある。
• $x_4$ における演算子の完全な集合がSUSY表現論により特定され、総多重度がレプリカアプローチによる正確な結果と一致した。