[論文レビュー] The generic Grobner walk

K. Fukuda, Anders Jensen+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2005

Polynomial and algebraic computation被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、Q^n 上の Robbiano の群順序特徴付けを用いた形式的直線追跡により、Gröbner 基底変換における明示的な数値摂動を置き換える一般化された Gröbner ワークという手法を導入する。高精度整数演算を小さな整数ベクトル間の項順序比較に置き換えることで、大きな整数を用いずに無限小摂動に基づく計算を効率的に行える。これにより、トーリックイデアルや整数ナップサック問題のテストセット計算が Buchberger のアルゴリズムと比較して顕著に高速化される。

ABSTRACT

The Gröbner walk is an algorithm for conversion between Gröbner bases for different term orders. It is based on the polyhedral geometry of the Gröbner fan and involves tracking a line between cones representing the initial and target term order. An important parameter is explicit numerical perturbation of this line. This usually involves both time and space demanding arithmetic of integers much larger than the input numbers. In this paper we show how the explicit line may be replaced by a formal line using Robbiano’s characterization of group orders on Q n. This gives rise to the generic Gröbner walk involving only Gröbner basis conversion over facets and computations with marked polynomials. The infinite precision integer arithmetic is replaced by term order comparisons between (small) integral vectors. This makes it possible to compute with infinitesimal numbers and perturbations in a consistent way without introducing unnecessary long integers. The proposed technique is closely related to the lexicographic (symbolic) perturbation method used in optimization and computational geometry. We report on computations with toric ideals, where a version of our algorithm in certain cases computes test sets for hard integer knapsack problems significantly faster than the Buchberger algorithm. 1

研究の動機と目的

• Gröbner ワークアルゴリズムにおける高価な高精度整数演算の必要性を排除すること。
• 明示的な数値線ではなく形式的線を用いることで、無限小摂動による一貫性のある計算を可能にすること。
• 特にトーリックイデアルや整数ナップサック問題において、Gröbner 基底変換の効率を向上させること。
• 計算幾何学における記号的摂動技術を代数的計算へ統合すること。
• マーク付き多項式と facet 基準の変換を用いた、効率的なテストセット計算のフレームワークを提供すること。

提案手法

• Gröbner ファンにおける線の明示的数値摂動を、Q^n 上の Robbiano の群順序特徴付けに基づく形式的線に置き換える。
• 任意精度整数演算の代わりに、小さな整数ベクトル間の項順序比較を用いる。
• Gröbner ファンの facet 間でのみ Gröbner 基底変換を行うことで、計算オーバーヘッドを低減する。
• マーク付き多項式を用いて、形式的摂動下でも初期形を追跡し、正しさを保持する。
• Gröbner ファンの構造を活用して、錐複体内の一般化された線に沿ったウォークを誘導する。
• 計算幾何学から借用した記号的摂動技術を代数的設定に適応させ、数値の爆発を避ける一貫性を確保する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Gröbner ワークにおける明示的な数値摂動ステップを、形式的で記号的な手法に置き換えることは可能か？
• RQ2 大きな整数を用いずに、無限小摂動を一貫してモデル化する方法は何か？
• RQ3 一般化された Gröbner ワークは、トーリックイデアルのテストセット計算において Buchberger のアルゴリズムをどの程度上回るか？
• RQ4 形式的線アプローチは、異なる項順序間での Gröbner 基底変換においても正しさと効率性を維持できるか？
• RQ5 高精度算術を単純な項順序比較に置き換えることで、計算性能にどのような影響が生じるか？

主な発見

• 一般化された Gröbner ワークは、高価な任意精度整数演算を、小さな整数ベクトル間の効率的項順序比較に置き換える。
• この手法により、大きな整数を導入せずに無限小摂動による一貫性のある計算が可能になる。
• 整数ナップサック問題のテストセット計算において、Buchberger のアルゴリズムと比較して顕著な高速化が達成される。
• このアプローチは、計算幾何学や最適化で用いられる記号的摂動法と密接に関連している。
• トーリックイデアルの計算において、一般化された Gröbner ワークは特定の状況で Buchberger のアルゴリズムよりも著しく高速であることが示された。
• この技術は、facet 単位の Gröbner 基底変換とマーク付き多項式の追跡に依存するのみであり、実装を簡素化し、オーバーヘッドを低減する。