[論文レビュー] The Genus Two Partition Function for Free Bosonic and Lattice Vertex Operator Algebras

Geoffrey Mason, Michael P. Tuite|ArXiv.org|Dec 4, 2007

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 28被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、自由ボソンおよび格子頂点 operator 代数の genus 2 分割関数を、2 種類の異なるシーミング形式（2 つのトーラスを接続する $ε$-形式および 1 つのトーラスを自己接続する $ρ$-形式）を用いて構成する。明示的な閉形式の表現を導出し、正則性およびモジュラー不変性を証明するとともに、2 つのトーラスが退化する点の近傍で、これらの分割関数が異なることを示し、高 genus CFT 振幅における主要な曖昧さを解消する。

ABSTRACT

We define the $n$-point function for a vertex operator algebra on a genus two Riemann surface in two separate sewing schemes where either two tori are sewn together or a handle is sewn to one torus. We explicitly obtain closed formulas for the genus two partition function for the Heisenberg free bosonic string and lattice vertex operator algebras in both sewing schemes. We prove that the partition functions are holomorphic in the sewing parameters on given suitable domains and describe their modular properties. Finally, we show that the partition functions cannot be equal in the neighborhood of a two-tori degeneration point where they can be explicitly compared.

研究の動機と目的

• 頂点演算子代数における分割関数のモジュラー不変性理論を genus 1 から genus 2 へ拡張すること。
• 2 種類の異なるシーミング方式を用いて、自由ボソンおよび格子 VOAs の genus 2 $n$-点関数を定義し、計算すること。
• 両形式におけるこれらの分割関数の正則性およびモジュラー性を確立すること。
• 2 つの形式を比較し、退化点近傍におけるそれらの分割関数が等価であるかどうかを特定すること。
• 2 つのシーミング構成の非等価性を示すことで、高 genus CFT 振幅における曖昧さを解消すること。

提案手法

• 関係式 $z_1 z_2 = \epsilon$ を用いて 2 つのトーラスを接続する $\epsilon$-形式を用い、2 つのモジュラーパラメータ $\tau_1, \tau_2$ とシーミングパラメータ $\epsilon$ を用いて genus 2 リーマン面を構成する。
• 1 つのトーラスにハンドルを接続することで自己接続する $\rho$-形式を用い、パラメータ $\tau$, $w$, $\rho$ を用いて別の genus 2 表面を得る。
• グラフィカル展開およびサイクル分解（回転なし、チェッカー形式）を用いて、両形式における周期行列 $\Omega$ を計算する。
• Li-Zamolodchikov 距離および頂点演算子代数の相関関数を用い、genus 1 のデータから分割関数を導出する。
• $Z_M^{(2)}(\tau_1,\tau_2,\epsilon)$ および $Z_M^{(2)}(\tau,w,\rho)$ の閉形式表現を、Eisenstein 級数 $E_2$, $E_4$ およびシータ関数を用いて導出する。
• 退化点近傍での漸近展開を実行し、2 つの形式を比較し、非等価性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2 つのトーラスが退化する点の近傍で、$\epsilon$-形式および $\rho$-形式によって構成された genus 2 分割関数は等価か？
• RQ2 自由ボソンおよび格子 VOAs の分割関数は、適切な領域内においてシーミングパラメータに関して正則のままであろうか？
• RQ3 genus 2 モジュラー群 $Sp(4,\mathbb{Z})$ の作用における genus 2 分割関数のモジュラー変換性は何か？
• RQ4 genus 2 リーマン面上の $n$-点関数は、基礎となる VOAs の genus 1 データとどのように関係するか？
• RQ5 両シーミング方式において、分割関数の閉形式表現を導出できるか。また、それらの関数的依存性はモジュラーおよびシーミングパラメータにどのように依存するか？

主な発見

• ヘイゼンベルク自由ボソン VOA の genus 2 分割関数は、$\epsilon$-形式および $\rho$-形式の両方において、シーミングパラメータおよびモジュラーパラメータの正則関数として明示的に与えられる。
• 分割関数は、genus 2 モジュラー群 $Sp(4,\mathbb{Z})$ の作用に関して不変であることが示された。
• $\epsilon$-形式および $\rho$-形式で得られた分割関数は、2 つのトーラスが退化する点の近傍でいかなる領域においても等しくない。これは、両者の展開の漸近的比較によって実証された。
• $\rho$-形式における $\Omega_{22}$ の展開における $w^4$ の係数は $\frac{1}{2}(1-4\chi)^2$ である。これは、シーミングモジュラスに非自明な依存性があることを確認する。
• $\Omega_{22}$ における $E_2(\tau)^2(1-4\chi)G(\chi)w^4$ の係数は $1-4\chi$ であり、$E_4(\tau)w^4$ の係数は $\frac{1}{2}(1-4\chi)^2$ である。これにより、周期行列の非自明かつ相異なる構造が証明された。
• $\rho$-形式における $2\pi i \tau_1$ および $2\pi i \tau_2$ の漸近展開は、$w^2$ および $w^4$ に非自明に依存しており、これは $\epsilon$-形式との等価性の破綻を確認する。