[論文レビュー] The geodesic X-ray transform with matrix weights

Gabriel P. Paternain, Mikko Salo+2 more|arXiv (Cornell University)|May 25, 2016

Numerical methods in inverse problems参考文献 33被引用数 22

ひとこと要約

本稿は、次元≥3 で境界が厳密に凸で、厳密に凸な絶対的発散関数をもつコンパクトなリーマン多様体上における関数および一形式の行列重み付き測地線X線変換の単射性を確立する。局所的逆解法と層剥がし法を用い、ゲージ同値性の下で散乱データから接続およびヒッグス場が一意に特定可能であることを証明し、非負の曲率多様体への結果の拡張を達成し、量子状態および偏光トモグラフィーにおける逆問題を解けるようにする。

ABSTRACT

Abstract: Consider a compact Riemannian manifold of dimension $\geq 3$ with strictly convex boundary, such that the manifold admits a strictly convex function. We show that the attenuated ray transform in the presence of an arbitrary connection and Higgs field is injective modulo the natural obstruction for functions and one-forms. We also show that the connection and the Higgs field are uniquely determined by the scattering relation modulo gauge transformations. The proofs involve a reduction to a local result showing that the geodesic X-ray transform with a matrix weight can be inverted locally near a point of strict convexity at the boundary, and a detailed analysis of layer stripping arguments based on strictly convex exhaustion functions. As a somewhat striking corollary, we show that these integral geometry problems can be solved on strictly convex manifolds of dimension $\geq 3$ having non-negative sectional curvature (similar results were known earlier in negative sectional curvature). We also apply our methods to solve some inverse problems in quantum state tomography and polarization tomography.

研究の動機と目的

• 次元≥3 であるコンパクトなリーマン多様体上における関数および一形式の減衰X線変換（行列重み付き）の単射性を確立する。
• GL(N,C)-接続およびヒッグス場の散乱データが、ゲージ変換の同値類の下で、そのペアを一意に特定できることを証明する。
• 測地線X線変換に関する逆問題の先行研究を、共役点を含む非負のセクション的曲率をもつ多様体へと拡張する。
• 得られた結果を、量子状態トモグラフィーおよび偏光トモグラフィーにおける逆問題の解法に応用する。
• 厳密に凸な境界点近傍での局所的逆解法を構築し、層剥がし法を用いてグローバル再構成を可能にする。

提案手法

• 本稿は、接続およびヒッグス場を回復する非線形逆問題を線形問題に還元するための擬線形化技術を導入する。
• 定義関数 ˜x を用いた微小局所解析を用い、厳密に凸な境界点近傍における重み付き測地線X線変換の局所的可逆性を確立する。
• 滑らかな厳密に凸な絶対的発散関数の存在に依存する層剥がし法を用い、境界データから接続およびヒッグス場を反復的に再構成する。
• 重み付きX線変換の正規作用素を、(−1, 0) 階数の散乱擬微分作用素として分析し、次元≥5 におけるその強退化性を証明する。
• 微小局所的手法を用いて、次元が少なくとも5以上で境界が厳密に凸である条件下で、正規作用素が強退化することを示す。
• 問題を散乱擬微分作用素の可逆性に還元することで、量子および偏光トモグラフィーにおける逆問題の局所的一意性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数および一形式に対して、行列重み付き減衰X線変換は、厳密に凸な境界点近傍で局所的に逆可能か？
• RQ2 次元≥3 であるコンパクトなリーマン多様体上において、GL(N,C)-接続およびヒッグス場の散乱データは、ゲージ同値性の下でそのペアを一意に特定可能か？
• RQ3 測地線X線変換の単射性は、共役点を含む非負のセクション的曲率をもつ多様体へと拡張可能か？
• RQ4 得られた結果は、量子状態トモグラフィーおよび偏光トモグラフィーにおける逆問題の解法に応用可能か？
• RQ5 次元≥5 において、重み付きX線変換の正規作用素は強退化するか？その結果、局所的再構成が可能か？

主な発見

• 次元≥3 で境界が厳密に凸で、厳密に凸な絶対的発散関数をもつコンパクトなリーマン多様体上における関数および一形式の測地線X線変換（行列重み付き）は、自然な核を除き単射である。
• 接続およびヒッグス場は、共役点が存在する場合でも、多様体に厳密に凸関数が存在する限り、散乱データによりゲージ変換の同値類の下で一意に特定可能である。
• 補題1.2は、次元≥3 で境界が厳密に凸で非負のセクション的曲率をもつすべてのコンパクトなリーマン多様体に対して、結果が成り立つことを示している。
• 量子状態トモグラフィーでは、次元≥3 で境界が厳密に凸な点近傍において、時間発展演算子 UH からハミルトニアン H が一意に回復可能である。
• 偏光トモグラフィーでは、次元≥5 で境界が厳密に凸な点近傍において、偏光データから異方的テンソル f が一意に回復可能である。
• 重み付きX線変換の正規作用素が次元≥5 で強退化することを示し、これにより局所的可逆性および再構成の一意性が保証される。