[論文レビュー] The Geometric M\"obius function and quadratic character sums

Mark Shusterman|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2018

Analytic Number Theory Research参考文献 16被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、関数体における短いM"obius和と乗法的指標和の間の関係を確立し、後者の制御が前者におけるキャンセルを保証することを示している。Burgessの評価を用いて、大きなモジュラスにおける算術級数におけるM"obiusのキャンセルを証明し、特性3における幾何的M"obius関数が平方根の壁を下回る区間で符号を変えることを示している。

ABSTRACT

We show that in order to obtain cancellation in short M\obius sums over function fields, it suffices to control short multiplicative character sums. In conjunction with the Burgess bound, this allows us to obtain M\obius cancellation in certain arithmetic progressions with large moduli. Furthermore, we show that in characteristic $3$, the geometric M\obius function changes sign in intervals below the square root barrier.

研究の動機と目的

• 関数体における短いM"obius和と短い乗法的指標和の間の関係を確立すること。
• Burgessの評価を活用して、大きなモジュラスをもつ算術級数におけるM"obius関数のキャンセルを達成すること。
• 平方根の壁を下回る区間における幾何的M"obius関数の符号変動を調査すること。
• 特性3における関数体における幾何的M"obius関数の振る舞いを分析すること。

提案手法

• M"obius和のキャンセル問題を、短い乗法的指標和の制御に還元する。
• 乗法的指標和にBurgessの評価を適用し、M"obius和におけるキャンセルを導出する。
• 代数的幾何学および関数体の技法を用いて、幾何的M"obius関数を分析する。
• 特性3に注目し、平方根の壁を下回る区間における符号変化を研究する。
• 関数体上の解析的数論の道具、特に指標和の推定を用いる。
• 関数体におけるゼータ関数およびゼータ方程式の構造に依拠して、符号変動の結果を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数体における短いM"obius和のキャンセルは、短い乗法的指標和の制御から導けるか。
• RQ2 Burgessの評価は、関数体における大きなモジュラスをもつ算術級数において、どの程度M"obiusのキャンセルを可能にするか。
• RQ3 特性3において、幾何的M"obius関数は平方根の壁を下回る区間で符号を変えるか。
• RQ4 特性3における関数体のどの構造的性質が、幾何的M"obius関数の符号変動を支配するか。

主な発見

• 関数体における短いM"obius和のキャンセルは、短い乗法的指標和の制御によって保証される。
• Burgessの評価により、関数体における大きなモジュラスをもつ算術級数におけるM"obius和に非自明なキャンセルが達成される。
• 特性3では、導手の平方根を下回る長さの区間において、幾何的M"obius関数が符号を変える。
• 幾何的M"obius関数の符号変動は、平方根の壁を下回る区間で発生し、非自明な振動を示している。
• これらの結果は、低特性でさえも、幾何的M"obius関数が短い区間で符号不変性を保たないことを示している。