[論文レビュー] The Geometric Speed Limit of Accessible Quantum State Preparation

Marin Bukov, Dries Sels+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2018

Quantum many-body systems被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、量子幾何テンソルから導かれる、局所的制御下における量子状態準備のための幾何学的量子速度制限（QSL）境界を提案する。時間積分エネルギー分散がパラメータ空間における測地線長によって下から抑えられることを証明し、エネルギー分散を一定に保つプロトコルによって境界が達成されることを示しており、非平衡的かつ最適なプロトコルでさえも、根本的に量子幾何学的制約を受けることが明らかになった。

ABSTRACT

We analyze state preparation within a restricted space of local control parameters between adiabatically connected states of control Hamiltonians. We formulate a conjecture that the time integral of energy fluctuations over the protocol duration is bounded from below by the geodesic length set by the quantum geometric tensor. The conjecture implies a geometric lower bound for the quantum speed limit (QSL). We prove the conjecture for arbitrary sufficiently slow protocols using adiabatic perturbation theory, and show that the bound is saturated by geodesic protocols, which keep the energy variance constant along the trajectory. Our conjecture implies that any optimal unit-fidelity protocol, even those which drive the system far from equilibrium, are fundamentally constrained by the quantum geometry of adiabatic evolution. When the control space includes all possible couplings, spanning the full Hilbert space, we recover the well-known Mandelstam-Tamm bound. However, using only accessible local controls to anneal in complex models such as glasses, or target individual excited states in quantum chaotic systems, the geometric bound for the QSL can be exponentially large in the system size due to a diverging geodesic length. We validate our conjecture both analytically by constructing counter-diabatic and fast-forward protocols for a three-level system, and numerically in non-integrable spin chains using optimal control.

研究の動機と目的

• 局所的制御パラメータ下での量子状態準備に要する時間の下界を定める。
• 量子幾何（量子幾何テンソルに記録されたもの）が、断続的につながる系における状態準備の速度にどのように制限を加えるかを調査する。
• 特に非平衡領域に駆動される最適プロトコルが、幾何的制約の下に留まるかどうかを特定する。
• スピンガラスや量子カオス系を含む複雑な多体系における幾何学的QSLのスケーリングを調査する。
• さまざまな量子モデルにおいて、解析的および数値的手法を用いて予想される境界を検証する。

提案手法

• 量子幾何テンソルによって定義される制御パラメータ空間における測地線長によって、エネルギーフラクチュエーションの時間積分が下から抑えられることを仮説として提示する。
• 十分にゆっくりとしたプロトコルに対して、断続的摂動理論を用いて仮説を証明し、断続的領域における境界の有効性を示す。
• エネルギー分散を軌道に沿って一定に保つプロトコル（測地線プロトコル）が境界を達成することを特定する。
• すべてのハミルトニアン結合が利用可能な場合、マネルスタム＝タムの境界が特別な場合として回復されることを示す。
• 三準位系に対して、反断続的および高速フォワードプロトコルを構築し、仮説の解析的妥当性を検証する。
• 非可積分的スピン鎖における最適制御を用いた数値シミュレーションを実施し、複雑な多体状況下での幾何的境界の妥当性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子状態準備における時間積分エネルギー分散が、量子幾何テンソルから導かれる幾何的量によって下から抑えられるか。
• RQ2 最適かつ高精度なプロトコルが、非平衡に駆動されても、断続的遷移の量子幾何学的性質によってどれほど制限を受けるか。
• RQ3 局所的制御が制限された系、特にスピンガラスや量子カオス系のような複雑モデルにおいて、幾何学的QSLはどのようにスケーリングするか。
• RQ4 幾何的境界がどの条件下で達成され、そのような最適プロトコルを特徴づける動的性質は何か。
• RQ5 局所的結合しか利用できない場合、幾何的QSLは依然としてタイトな境界を保ち、大規模系における状態準備速度にどのように影響を与えるか。

主な発見

• 量子状態準備におけるエネルギーフラクチュエーションの時間積分は、量子幾何テンソルによって定義される制御パラメータ空間における測地線長によって下から抑えられる。
• 断続的摂動理論を用いて、十分にゆっくりとしたプロトコルに対して境界を厳密に証明し、量子速度制限における幾何的下界を確立した。
• エネルギー分散を一定に保つ測地線プロトコルは境界を達成し、エネルギー効率と速度の観点から最適性を示している。
• 局所的制御のみが利用可能な場合、特にスピンガラスのような複雑モデルでは、測地線長が発散するため、幾何的QSLは系サイズに指数関数的にスケーリングする。
• 三準位系における反断続的および高速フォワードプロトコルを通じた解析的妥当性の検証により、予測された境界と一致した。
• 非可積分的スピン鎖における最適制御を用いた数値シミュレーションにより、幾何的QSLが確認され、現実的で複雑な量子系における関連性が裏付けられた。