[論文レビュー] The geometric stability of Voronoi diagrams with respect to small changes of the sites

Daniel Reem|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2011

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 33被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、一様凸ノルム空間（ℝᵈ や無限次元空間を含む）におけるサイトの微小な摂動に対してボロノイ図の幾何的安定性を確立する。サイトが一様に正の距離で分離されている場合、それらの位置や形状に生じる微小な変化が、結果として得られるボロノイ細胞の幾何に一様に小さな変化をもたらすことが示され、細胞間のハウスドルフ距離に対する明示的な上限が提示されている。この結果は、一般の形をした有限または無限個のサイトに対しても成り立ち、幾何的応用におけるボロノイ図のロバストネスに関する根本的問題を解決する。

ABSTRACT

Voronoi diagrams appear in many areas in science and technology and have numerous applications. They have been the subject of extensive investigation during the last decades. Roughly speaking, they are a certain decomposition of a given space into cells, induced by a distance function and by a tuple of subsets called the generators or the sites. Consider the following question: does a small change of the sites, e.g., of their position or shape, yield a small change in the corresponding Voronoi cells? This question is by all means natural and fundamental, since in practice one approximates the sites either because of inexact information about them, because of inevitable numerical errors in their representation, for simplification purposes and so on, and it is important to know whether the resulting Voronoi cells approximate the real ones well. The traditional approach to Voronoi diagrams, and, in particular, to (variants of) this question, is combinatorial. However, it seems that there has been a very limited discussion in the geometric sense (the shape of the cells), mainly an intuitive one, without proofs, in Euclidean spaces. We formalize this question precisely, and then show that the answer is positive in the case of R^d, or, more generally, in (possibly infinite dimensional) uniformly convex normed spaces, assuming there is a common positive lower bound on the distance between the sites. Explicit bounds are given, and we allow infinitely many sites of a general form. The relevance of this result is illustrated using several pictures and many real-world and theoretical examples and counterexamples.

研究の動機と目的

• サイトの位置や形状に生じる微小な変化が、ボロノイ細胞の幾何に微小な変化をもたらすかどうかを形式化し、厳密に解明すること。
• 幾何的安定性（組合せ的構造を超えたもの）が、長年にわたりほとんど証明されておらず、主に直感的な議論にとどまっていたという、文献における長年の空白を埋めること。
• 一般のノルム空間、特に一様凸空間において、サイトの摂動に対するボロノイ細胞境界の連続性を確立すること。
• やや弱い幾何的仮定の下で、元のと摂動されたボロノイ細胞間のハウスドルフ距離の変化に対する明示的な定量的上限を提供すること。
• 理論的例と逆例を用いて結果を検証し、正のサイト分離や発散性（emanation）の性質といった重要な条件の必要性を示すこと。

提案手法

• ボロノイ細胞間の類似度を測る指標として、ハウスドルフ距離を用いて幾何的安定性の問題を形式化する。
• 点から最も近いサイトまでの距離関数の振る舞いを分析し、特にサイト集合への距離の上界に注目する。
• 点 p における発散性（emanation）の概念を用い、p から方向 θ に引いた線分が、境界に達する前にサイトの影響領域に交わることを保証する。
• 一様凸ノルム空間の理論を応用し、方向 θ を点 p からそのボロノイ細胞境界までの距離に写す関数 T(θ,p) の連続性を導出する。
• 背理法と幾何的補題（例：補題 8.6、補題 8.9）を用いて、θ の微小な角度的摂動に対する T(θ,p) の変動の上限を確立する。
• 距離の成長を制御し、摂動下での安定性を保証するために、条件 (19) の有界性を導入・活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一様凸ノルム空間において、サイトの微小な摂動（位置や形状の変化）が、対応するボロノイ細胞の幾何的形状に微小な変化をもたらすか？
• RQ2 サイト配置からボロノイ細胞への写像がハウスドルフ距離において連続であるための条件は何か？
• RQ3 サイトが一様に分離されている限り、無限個のサイトに対してもボロノイ図の幾何的安定性は保たれるか？
• RQ4 サイトの微小な変化の下で、元のと摂動されたボロノイ細胞間のハウスドルフ距離の明示的な定量的上限は何か？
• RQ5 発散性や正のサイト分離といった幾何的・位相的仮定は、このような安定性に必要不可欠であるか？

主な発見

• 一様凸ノルム空間（ℝᵈ を含む）において、一様に正の距離で分離されたサイトに対して、微小な摂動が、ハウスドルフ距離で測った場合、対応するボロノイ細胞に一様に小さな変化をもたらす。
• 方向の偏角のずれと空間の幾何的性質に依存する、サイト摂動によるボロノイ細胞境界の変化に対する明示的な上限が提示されている。
• 点 p からそのボロノイ細胞境界までの距離を方向 θ で与える関数 T(θ,p) は、発散性の仮定とサイト集合への正の距離の下で連続である。
• 任意の形状の有限または無限個のサイトに対しても、一様に正の距離で分離されていれば、結果は成り立つ。
• 逆例により、一様凸性、正のサイト分離、発散性の各条件が連続性のための必要条件であることが示された。それらが欠落すると、幾何的不安定性が生じ得る。
• 本稿は、非一様凸空間や、点からサイト集合への距離がゼロである場合に、一般のノルム空間では幾何的安定性が保証されないことを、逆例によって示している。