[論文レビュー] The geometry and topology of contact structures with singularities

Eva Miranda, Cédric Oms|arXiv (Cornell University)|May 20, 2020

Geometric and Algebraic Topology参考文献 22被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、臨界超曲面 $Z$ に接する特異接触構造としての $b^m$-接触構造を導入する。これらは非滑らかな $b^m$-接触形式によって定義される。局所正規形を確立し、$Z$ に誘導される位相的構造を分析し、任意の接触多様体における凸超曲面の連結成分が、特異化技術を用いることで $b^m$-接触構造の臨界集合として実現可能であることを示している。

ABSTRACT

In this article we introduce and analyze in detail singular contact structures, with an emphasis on $b^m$-contact structures, which are tangent to a given smooth hypersurface $Z$ and satisfy certain transversality conditions. These singular contact structures are determined by the kernel of non-smooth differential forms, called $b^m$-contact forms, having an associated critical hypersurface $Z$. We provide several constructions, prove local normal forms, and study the induced structure on the critical hypersurface. The topology of those are related to smooth contact structures through a desingularization technique. The problem of existence of $b^m$-contact structures on a given manifold is also tackled in this paper. We prove that a connected component of a convex hypersurface of a contact manifold can be realized as a connected component of the critical set of a $b^m$-contact structure.

研究の動機と目的

• 臨界超曲面 $Z$ を持つ特異接触構造としての $b^m$-接触構造を導入し、体系的に分析すること。
• 非滑らかな微分形式を用いて、$b^m$-接触構造の幾何学的・位相的性質を特徴づけること。
• 臨界超曲面 $Z$ の近傍における $b^m$-接触構造の局所正規形を確立すること。
• 臨界超曲面 $Z$ に誘導される接触構造と、滑らかな接触位相幾何学との関係を研究すること。
• 与えられた多様体上での $b^m$-接触構造の存在問題を扱い、特に標準接触多様体内の凸超曲面と関連付けること。

提案手法

• 滑らかな超曲面 $Z$ 沿いに制御された特異性を持つ $b^m$-接触形式の核として $b^m$-接触構造を定義する。
• 形式が周囲多様体上での適切に扱える特異接触構造を定義するため、横断性条件を用いる。
• 臨界超曲面 $Z$ の近傍における $b^m$-接触構造の局所正規形を導出し、標準接触正規形を特異設定に一般化する。
• 特異化手続きを適用して、$b^m$-接触構造の位相と滑らかな接触構造の位相との関係を確立する。
• 接触多様体内の凸超曲面の理論を活用し、所望の臨界集合を有する $b^m$-接触構造を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 超曲面 $Z$ 沿いに制御された特異性を有する接触構造を体系的に定義・分類する方法は何か？
• RQ2 $b^m$-接触構造は、その臨界超曲面 $Z$ の近傍でどのような局所正規形を有するか？
• RQ3 $b^m$-接触構造は、臨界超曲面 $Z$ にどのような位相的構造を誘導するか？
• RQ4 特異化プロセスは、$b^m$-接触構造の位相と滑らかな接触構造の位相とをどのように関連付けるか？
• RQ5 接触多様体内の凸超曲面の連結成分が、$b^m$-接触構造の臨界集合として実現可能となる条件は何か？

主な発見

• $b^m$-接触構造は、滑らかな超曲面 $Z$ に横断的に接する非滑らかな $b^m$-接触形式の核として定義され、適切に定義された特異接触幾何を保証する。
• 臨界超曲面 $Z$ の近傍における $b^m$-接触構造の局所正規形が確立され、標準接触正規形が特異ケースに一般化されている。
• 臨界超曲面 $Z$ は、明確に定義された誘導接触構造を備えており、これはグローバル位相を理解する上で不可欠である。
• 特異化技術により、$b^m$-接触構造の位相と滑らかな接触構造の位相との関係を確立でき、結果の転送が可能になる。
• 接触多様体内の凸超曲面の連結成分は、$b^m$-接触構造の臨界集合の連結成分として実現可能であり、この設定における存在問題が解決される。