[論文レビュー] The geometry of degenerations of Hilbert schemes of points

Martin G. Gulbrandsen, Lars Halvard Halle+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2018

Advanced Algebra and Geometry参考文献 21被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、厳密な単純な退化 $ f: X \to C $ における $ n $ 点の相対ヒルベルトスキームの退化 $ I^n_{X/C} \to C $ を構成し、研究する。$ \dim X_c \leq 2 $ のとき、この退化は dlt モデルであり、$ f $ が良い場合、良い最小 dlt モデルであることを示す。中心ファイバーの双対複体を計算し、一般ファイバーの本質的スケルトンと関連付ける。また、$ K3 $ 表面の退化に対して、スタック $ \mathcal{I}^n_{X/C} $ が非退化な相対対数 2 形式を有することを証明する。

ABSTRACT

Given a strict simple degeneration $f \colon X o C$ the first three authors previously constructed a degeneration $I^n_{X/C} o C$ of the relative degree $n$ Hilbert scheme of $0$-dimensional subschemes. In this paper we investigate the geometry of this degeneration, in particular when the fibre dimension of $f$ is at most $2$. In this case we show that $I^n_{X/C} o C$ is a dlt model. This is even a good minimal dlt model if $f \colon X o C$ has this property. We compute the dual complex of the central fibre $(I^n_{X/C})_0$ and relate this to the essential skeleton of the generic fibre. For a type II degeneration of $K3$ surfaces we show that the stack ${\mathcal I}^n_{X/C} o C$ carries a nowhere degenerate relative logarithmic $2$-form. Finally we discuss the relationship of our degeneration with the constructions of Nagai.

研究の動機と目的

• 相対ヒルベルトスキームの退化 $ I^n_{X/C} \to C $ のビラショナル幾何および特異的性質を理解すること。
• $ f: X \to C $ のファイバー次元が 2 以下であるとき、$ I^n_{X/C} \to C $ が dlt モデルであるかどうかを特定すること。
• 中心ファイバー $ (I^n_{X/C})_0 $ の双対複体を計算し、一般ファイバーの本質的スケルトンと関連付けること。
• $ K3 $ 表面のタイプ II 退化に対して、$ \mathcal{I}^n_{X/C} \to C $ が非退化な相対対数 2 形式を有するかどうかを調査すること。
• 構成された退化 $ I^n_{X/C} $ を、対称積とトーリック手法による永井の構成と比較すること。

提案手法

• Li の拡張退化 $ X[n] \to C[n] $ を用い、トーラス $ G[n] \cong (\mathbb{G}_m)^n $ による相対ヒルベルトスキーム $ \mathrm{Hilb}^n(X[n]/C[n]) $ の GIT 商として $ I^n_{X/C} $ を構成する。
• GIT 半安定部分スキームがファイバーの滑らかさ領域にのみ支持されることを用い、組合せ的安定条件による制御を可能にする。
• $ G[n] $-作用と安定化群の解析により、GIT 商 $ I^n_{X/C} $ が正規かつ $ \mathbb{Q} $-因子的であることを証明する。
• 解消と不変量の分析により、ペア $ (I^n_{X/C}, (I^n_{X/C})_0) $ が dlt 条件を満たすことを示し、$ I^n_{X/C} \to C $ の dlt 性質を確立する。
• 中心ファイバーの既約成分とその交わりの組合せ論的構造を解析し、$ (I^n_{X/C})_0 $ の双対複体を計算する。
• 吹き上げ解消の $ \mathbb{Z}_2 $-可換性と $ G[2] $-不変関数を用い、$ \mathrm{Bl}_T(X \times_C X) \to X \times_C X $ が $ I^2_{X/C} $ に同型であることを示し、$ n=2 $ の場合の同型を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ f: X \to C $ のファイバー次元が 2 以下であるとき、退化 $ I^n_{X/C} \to C $ は dlt モデルか？
• RQ2 $ I^n_{X/C} \to C $ が良い最小 dlt モデルであるとは、すなわち $ K_{I^n_{X/C}} + (I^n_{X/C})_0 $ が $ C $ 上で半アーベル的であるとは、いつか？
• RQ3 中心ファイバー $ (I^n_{X/C})_0 $ の双対複体の構造は何か？ 一般ファイバーの本質的スケルトンとどのように関係するか？
• RQ4 タイプ II 退化の $ K3 $ 表面に対して、スタック $ \mathcal{I}^n_{X/C} \to C $ が非退化な相対対数 2 形式を有するか？
• RQ5 $ I^n_{X/C} $ の GIT を用いた構成は、対称積とトーリック幾何を用いた永井の構成とどのように比較できるか？

主な発見

• $ \dim X_c \leq 2 $ のとき、退化 $ I^n_{X/C} \to C $ は dlt モデルである： $ I^n_{X/C} $ は正規かつ $ \mathbb{Q} $-因子的であり、特別ファイバー $ (I^n_{X/C})_0 $ は重複度 1 の被約被覆である。
• $ f: X \to C $ が良い半安定退化である場合、$ I^n_{X/C} \to C $ は良い最小 dlt モデルである。すなわち、$ K_{I^n_{X/C}} + (I^n_{X/C})_0 $ は $ C $ 上で半アーベル的である。
• 中心ファイバー $ (I^n_{X/C})_0 $ の双対複体は計算され、拡張退化 $ X[n] \to C[n] $ の中心ファイバーの双対複体と同型であることが示された。
• タイプ II 退化の $ K3 $ 表面に対して、スタック $ \mathcal{I}^n_{X/C} \to C $ は非退化な相対対数 2 形式を有する。これは重要な幾何的不変量である。
• $ n=2 $ の場合、$ I^2_{X/C} \cong \mathrm{Bl}_T(X \times_C X) $ が、$ T $ を $ X_0^{\text{sing}} \times X_0^{\text{sing}} $ として、明示的な $ G[2] $-可換同型写像により証明された。
• $ I^n_{X/C} $ の GIT を用いた構成が、対称積とトーリック幾何を用いた永井の構成と同型であることが示され、異なる手法間の整合性が確認された。